カテゴリー: 数学

簡単な例で実験。$A=\mathbb{Z}$を有理整数環，その素イデアルとして，
\[ \mathfrak{p} = (2) = 2\mathbb{Z} \]
を取る。
$S=A-\mathfrak{p}$は乗法に関して閉じているから，局所化$S^{-1}A$を考えることができる。
これは，素点$\mathfrak{p}$における局所環と呼ばれ，慣例に従って$A_{\mathfrak{p}}$と書かれる。
$S$は具体的には奇数全体からなる部分集合なので，この場合，
\[ A_{\mathfrak{p}} = \left\lbrace \frac{a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
となる。
$B=A_{\mathfrak{p}}$とおいて，$B$のイデアル$\mathfrak{a}$を考える。もし，$\frac{a}{b}$ ($a$も$b$も奇数) なる元を$\mathfrak{a}$が含めば，$\frac{b}{a} \in B$であるから，$1=\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b} \in \mathfrak{a}$となり，$\mathfrak{a}=B$になってしまう。よって，真のイデアル$\mathfrak{a}$に含まれる元$\frac{a}{b}$は，$a$が偶数，$b$が奇数の形に限る。そこで，このような$\frac{a}{b}$のうち，分子の$a$に含まれる素数$2$の個数の最小値を$n$とすれば，
\[ \mathfrak{a} = (2^{n}) = 2^{n}B = \left\lbrace \frac{2^{n}a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
これから，次が分かる。$B$はただ1つの極大イデアル
\[ \mathfrak{m} = (2) = 2B = \left\lbrace \frac{2a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
を持ち，その他のイデアル$\mathfrak{a}$は$\mathfrak{a}=\mathfrak{m}^{n}$と表される。

以上，おそらくは一番簡単な局所環の例。手持ちの教科書ではここまで簡単な例は載っていない(多分)。非常に単純だが，2以外の素数がつぶれてしまう様子が良く分かり，局所環という名称がふさわしいことが理解できる。

何故か代数的数論を勉強したいという気になって，あれこれ資料を収集中。少し前に2次形式の数論(2次体ではなくて)にはまっていた時期があるのだが，その延長というのとはちょっと違う。きっかけが思い出せないのだが，やはり根底には，Coxの Primes of the form $x^2+ny^2$ をきちんと読みたいというのがあったと思う。

代数的数論の教科書というのは日本語でも幾つかあるのだが，基礎的部分はけっこう退屈で，それなりの動機がないと，読み通すのはけっこう苦痛だったりする。とりあえず，本棚にある高木貞治，藤崎源二郎，石田信，あたりを読もうとするのだが，それぞれに難しい。他にないかと，英語の本とかを探すのだが，こちらもいろいろとあって，というかありすぎて，悩ましいのである。Neukirch, Fröhlich-Taylor, Samuel, Ribenboim, あたりを行ったり来たりしている。

$x$が代数的整数であるとは，$x$がモニックで整数係数の代数方程式
\[ x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}=0 \]
の根になること。
この定義だと，代数的整数の和が代数的整数になることすら自明ではないが，代数的整数になるための条件を「線型化」することができて，それを用いれば，簡単に証明される。ポイントとなるのは，次の命題。

$x$が代数的整数であることは，$xM\subset M$なる有限生成$\mathbb{Z}$-加群$M$が存在することと同値である。

一見すると意味がよく分からない命題であるのだが，これが非常に強力であることが，段々と分かってくる。命題の証明は次のようになる。$M$の生成元を$y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$とすれば，
\[ xy_{i} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} y_j \]
となるが，これは$x$が行列 $A=(a_{ij})$ の固有値であることを意味している。よって，固有方程式
\[ \det (xI-A)=0 \]
が成り立つが，これを展開すれば，モニックの$n$次方程式になる。

この命題を利用すると，代数的数の全体が環をなすことが簡単に証明される。一見すると大したことのないように見える命題なのだが，実のところ非常に強力なのである。単に代数的整数の定義の段階でも，加群という抽象代数の概念が大いに役立っているというのが，意外であった。

万年筆を買った。パイロットのカスタム・ヘリテイジ92というもの。プラスティックで透明なので，見た目は安っぽいが，定価は15000円(＋消費税)する。普通の万年筆よりは安いが。

気に入ったのは，ペンが14Kであることと，インクの補給がスクリュー式の吸入方式であることの2点。透明プラスティックの安価な万年筆の多くは，値段の問題だろうが，ペンは鉄製(あるいは合金)で，書き味が今ひとつだ。また，日本の万年筆のほとんどはカートリッジ・インクを使うようになっていて，ボトル・インクを使うには，専用のコンバーターを使う必要があるのだが，これが容量が小さくて不便なのだ。この2つをクリアーしてくれれば，見てくれはどうでもよい，いや，むしろ，余計な装飾に金をかけてくれないほうが，ありがたい。

ついでに，インクも購入した。同じくパイロットのもので，「天色(ama-iro)」というインク。少し前に，同じシリーズの「山葡萄(yama-budo)」というボルドーに似た色のインクを買って，かなり気に入っているのだが，今度は青系にしてみた。ターコイズ・ブルーに近い感じだろうか。試しに，代数的整数の定義のあたりをちょっと書いてみた。なかなか良い感じだ。

ケルナーの「フーリエ解析大全」(Körner : Fourier Analysis) は楽しい本なのだが，翻訳がちょっとどうなのかなあ，と思う箇所が時折ある。先日，ケルヴィン卿 (William Thomson) の話を読んでいて，やはり違和感を感じた。次の写真は，下巻のp.272なのだが，Thomsonがストークスの定理の発見を見逃した，と書いてある。そんなバカな，である。

ストークスの定理については，最初に発見したのがトムソンであり，トムソンからストークスへの手紙に書かれていること，ストークスがケンブリッジだったか，大学の数学コンテストの問題として出題した結果，ストークスの定理として広まったこと，これらは良く知られている話であり，どうして「発見を見逃した」ことになっているのか，まったく不可解である。

ということで，原文に当たってみた。次がスキャンしたもののスクリーン・ショット。

当該箇所を書き出してみる。

Other discoveries and inventions of Thomson are dealt with elsewhere in this book. We note in passing the discovery of what is now called Stokes’ theorem and the first mathematical discription of the oscillation of an electric circuit.

うーむ。これがどうして上のように訳されるのか，全く不可解だ。in passing を辞書で調べると，「事のついでに」とか「ちなみに」という意味らしい。してみると，次のような内容なのだろう。適当訳だが。

これ以外のトムソンの発見・発明についてはこの本の別の場所で扱うことになるが，ここでは，今日ストークスの定理と呼ばれている定理の発見と，電気回路の振動を初めて数学的に記述したことを注意しておこう。

［自分用のメモ］
火曜日の朝，シャワー浴びながらぼんやり考えていて思いついた。

座標平面で，2点$P(a,b)$, $Q(c,d)$を通る直線に原点から下ろした垂線$OH$の長さ$h$を求めること。
普通に直線の方程式を求めて，例の公式に代入してもよいが，三角形$OPQ$の面積$S$を2通りに計算することにより，以下のように求められる。
\begin{gather*}
S= \frac{1}{2}PQ\cdot h = \frac{1}{2} \vert ad-bc\vert \\
\therefore\quad h=\frac{\vert ad-bc\vert}{\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}}
\end{gather*}
簡単のために原点から下ろした垂線の長さにしたが，もちろん，任意の点から下ろした垂線でも同様である。

まあ，直線の方程式を求めなくてよい，という点がちょっとした利点だろうか。応用として，3次元空間で，直線に点から下ろした垂線の長さも同様にして求めることもできる。

アマゾンであれこれ見ていたら、志村五郎さんの新刊を発見。４冊目ですか！ ちょっとびっくり。タイトルは「数学をいかに教えるか」とのこと。高木貞治批判(?)もあるらしく、楽しみ(笑)

実際、高木貞治の「初等整数論講義」の影響力は大きいらしく、ガウスの本来の２次形式論をまともに扱った日本語の本はほとんどなく、デデキントのイデアル論とのからみで説明しようというものが大多数だ。種の理論にしても、「初等整数論講義」では類体論の立場からイデアルの種を定義していて、指標系による定義は技術的すぎて本質が見えないと書いてある。
そうかなあ〜と疑問。CoxのPrimes of the form $x^2+Ny^2$ に説明されているように、ラグランジュ流の初等的な種のアプローチ、つまり、モジュロ $m$ で表せるか否か、とか、から始まっていけば、指標系による類別は自然なものに思うのだが。

ともかく、本を注文した。送り先を迷ったのだが、東京の自宅ではなく九州の実家にした。東京だと翌日だが、九州だと日数が係る。でも、帰京まで待てない(苦笑)。

新幹線車内で、いろんな本というかPDFをパラパラと眺めていたのだが、運の悪いことに、数学の問題集みたいなものを開いてしまった。内容からして、数学オリンピックの準備とかそんな感じの本。Diophantus Equations とあったから、てっきりモーデルの本みたいなものだと思ったのだが、ちと違った。

で、問題が並んでいるのだが、\[ x^3-y^3=xy+61 \]を満たす自然数$x$, $y$を求めよ、というのがあった。\[ x^3-y^3-xy=61 \]と変形しても左辺は因数分解できないから、別の方法を考える必要がある。さて・・・。

左辺は立方数の差であるから、あるところから先はかなり大きくなるだろう。すくなくとも$x$の2乗のオーダーのはず。だって、$x^3-(x-1)^3=3x^2-3x+1$だから。ということは、不等式を利用すれば何とかなるタイプかもしれない。

とか、２、３分考える。以下のようにすればとりあえず解けると思う。$x>y$は自明。そこで、\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) \geqq x^2+xy+y^2 \] に注意する。すると、\begin{gather*} x^2+xy+y^2 \leqq x^3-y^2 = xy+61 \\ x^2+y^2 \leqq 61 \end{gather*} となるから、あとは有限個のチェックになる。

例えば \[ 2y^2 < x^2+y^2 \leqq 61 \] だから、$y$は$5$以下と分かる。 ［追記］(8/27) 因数分解の公式 \[ a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \] を利用した解法もある。$a=x$, $b=-y$, $c=-\frac{1}{3}$ とおけば、積イコール定数の形に変形できる。ちょっと気付きにくいが。

Hans Rademacher の Lectures on Elementary Number Theory に，ファレイ数列の基本性質 (隣り合った2つの分数$\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$に対して$bc-ad=1$が成り立つこと) の帰納法による証明が載っているのだが (pp.8–10)， \[ \lambda=ak-bh, \quad \mu=-am+bl \] と置く部分が天下りでちょっとなあと，思っていた。次のように考えれば自然だろうと思う。

$\displaystyle \frac{h}{k} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{l}{m}$ であるから，座標平面上で格子点 $A(k,h)$, $B(m,l)$, $P(b,a)$ を考えれば，格子点$P$は半直線$OA$, $OB$で挟まれた角領域にある。よって，\[ \begin{pmatrix} b\\a\end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} k\\ h\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} m\\ l\end{pmatrix} \qquad (\lambda\geq 0, \mu\geq 0) \] を満たす実数$\lambda$, $\mu$が存在する。この段階では$\lambda$, $\mu$は整数とは限らないが，上記の式を$\lambda$, $\mu$について解けば，\[ \lambda=\frac{ak-bh}{kl-hm}, \quad \mu=\frac{-am+bl}{kl-hm} \] となるから，$kl-hm=1$によって$\lambda$と$\mu$が整数となることが分かる。

帰納法による証明の概要は次の通り。位数$n-1$まで成立しているとして，位数$n$のファレイ数列の項$\frac{a}{b}$で位数$n-1$には含まれていない分数をとる。当然$b=n$である。この分数は，位数$n-1$のファレイ数列の隣り合った2項$\frac{h}{k}$, $\frac{l}{m}$ではさむことが出来る。このとき，\[ \frac{h}{k} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{l}{m}, \quad kl-hm=1 \] が成り立つから，上記の議論によって，\[ a=\mu h+\lambda l, \quad b=\mu k+\lambda m \] となる。$b=n$だから，$\frac{a}{b}$はこのような分数全体の中で，分母が最小のものとして唯一に定まる。よって， $\mu=\lambda=1$ であり，\[ a=h+l, \quad b=k+m \] となる。あとの部分は簡単。

Sylvesterの問題とか，Frobeniusの問題とか，Coin Problemとか，呼ばれている問題。$a$, $b$を互いに素な自然数とするとき，$0$個以上の1次結合 $ax+by$ ($x$, $y$は$0$以上の整数) の形で表すことの出来ない自然数$N$について，$N$の最大値と$N$の個数を求めよ，というもの。

Sylvesterが1882年にEducational Timesという雑誌(？)に投稿した記事とか，同じ年の論文とか，いろいろながめつつ，自分でも少し考えたりしたが，けっこう楽しめた。うん，面白い問題だ。

自分でも解いたのだが，それはまたあとで。母関数(Generating function)を利用する解法があって，面白かったのでメモ。

便宜上$N=0$も含めて考える。$ax+by$と表せる$0$以上の$N$について，$x$を $0 \leq x < b$ に制限すると，表し方はただ一通りになるから，\[ A(t)=\sum_{x=0}^{b-1} \sum_{y=0}^{\infty} t^{ax+by} = \sum_{N=0}^{\infty} a_N t^N \]を考えると，$N$が表せるときは$a_N=1$であり，表せないときは$a_N=0$となる。よって，$A(t)$はどの$N$が表せるかを表しているが，これは，\begin{align*} A(t) &= \sum_{x=0}^{b-1} t^{ax} \sum_{y=0}^{\infty} t^{by} = \frac{1-t^{ab}}{1-t^a}\cdot \frac{1}{1-t^b} \\ &= \frac{1-t^{ab}}{(1-t^a)(1-t^b)} \end{align*} とも表される。 一方，\[ B(t)=\sum_{N=0}^{\infty} t^N = \frac{1}{1-t} \]は，$0$以上のすべての整数を表しているから，差 \[ f(t)=B(t)-A(t)=\frac{1}{1-t}-\frac{1-t^{ab}}{(1-t^a)(1-t^b)} \] は，表されない$N$の全体を表している。つまり，\begin{align*} f(t) &= \sum_{\text{$N$:表されない}} t^N \\ &= \frac{(1-t^a)(1-t^b)-(1-t)(1-t^{ab})}{(1-t)(1-t^a)(1-t^b)} \end{align*} である。表されない$N$は有限個であるから，$f(t)$は$t$の多項式であり，その次数は表されない$N$の最大値である。また，$f(t)$の項の数は表されない$N$の個数となる。こうして，$f(t)$を調べることで，Sylvesterの問題を解くことが出来る。 以前に，$x+2y+3z=n$を満たす$0$以上の整数$x$, $y$, $z$の個数を求める問題で，Sylvesterが母関数 \[ \frac{1}{(1-t)(1-t^2)(1-t^3)} \] を用いているのを，Hardyの文章か何かで読んだことがあるが，まあ，同じようなことをやっているわけだ。