カテゴリー: 本

ケルナーの「フーリエ解析大全」(Körner : Fourier Analysis) は楽しい本なのだが，翻訳がちょっとどうなのかなあ，と思う箇所が時折ある。先日，ケルヴィン卿 (William Thomson) の話を読んでいて，やはり違和感を感じた。次の写真は，下巻のp.272なのだが，Thomsonがストークスの定理の発見を見逃した，と書いてある。そんなバカな，である。

ストークスの定理については，最初に発見したのがトムソンであり，トムソンからストークスへの手紙に書かれていること，ストークスがケンブリッジだったか，大学の数学コンテストの問題として出題した結果，ストークスの定理として広まったこと，これらは良く知られている話であり，どうして「発見を見逃した」ことになっているのか，まったく不可解である。

ということで，原文に当たってみた。次がスキャンしたもののスクリーン・ショット。

当該箇所を書き出してみる。

Other discoveries and inventions of Thomson are dealt with elsewhere in this book. We note in passing the discovery of what is now called Stokes’ theorem and the first mathematical discription of the oscillation of an electric circuit.

うーむ。これがどうして上のように訳されるのか，全く不可解だ。in passing を辞書で調べると，「事のついでに」とか「ちなみに」という意味らしい。してみると，次のような内容なのだろう。適当訳だが。

これ以外のトムソンの発見・発明についてはこの本の別の場所で扱うことになるが，ここでは，今日ストークスの定理と呼ばれている定理の発見と，電気回路の振動を初めて数学的に記述したことを注意しておこう。

• 朝、amazonから孫崎享「戦後史の正体」が届いた。タイトルは煽情的だが中身はいたってマトモな感じ。時間が出来たらゆっくり読もう。

  

• Fever-Tree社のトニック・ウォーターで作ったジン・トニックがとても美味しい。200mlなので、ちょうど2杯分。この他にも、Qトニックというトニック・ウォーターがあるらしく、そちらも評判が良いみたいだ。試してみたいが、値段がちょっと高いなあ。

なかなか進まないが、ぼちぼち本棚の整理＆PDF化を実行中なのである。久しぶりに SingerとThorpe共著の Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry に遭遇。

大学3年の輪講で使っていたテキスト。初めて買った洋書の数学の本だったかもしれない。

予備知識があまりなくても読めるし、よく出来た本だとは思うが、個人的には位相のあたりがまどろっこしかった。もっとも、それは手っ取り早く de Rham の定理に辿り着きたいという気持ちがあったからだったかもしれない。この本の立場は、そうではなくて、無味乾燥になりがちな位相空間入門を具体的目標(de Rhamとかリーマン幾何とか)を掲げて魅力的に展開しよう、ということなのだろう。

日本語訳も出ていて、欲しいなあと思いながら、同じ本が2つあってもなあと、結局買わずじまい。

2週間ほど前に注文していた本が届いた。ジーゲル (Carl Ludwig Siegel) の「超越数」(Transcendental Numbers) である。残念ながら古本なのだが，大好きな本なので，原書が本棚に並ぶのはとっても嬉しいのだ。

ジーゲルは日本語(というかジーゲル自身が理解できない言語)への翻訳を許可しなかったらしく，ジーゲルの本で日本語訳が出版されているものはない。そうなのだが，自家版の訳というのがあって，それを貰って読んでいたから，今日まで原書を見ることがなかった。いや，大学の図書館で一度手に取ったことがあるにはあるのだが，訳本持ってるからということで，ざっと眺めるだけで終わっていた。

ふと，一度原書で読んでみたいと思った。原文ではどう書いてあるのかなと思う箇所も幾つかあったりしたので。

プリンストン大学の例の赤本のシリーズなのだが，本文ぴったり100ページの小冊子であることに驚く。これで$e$が無理数であることからゆったりと始めて，最後はGelfond-Schneiderの定理にまで到達するのだからすごい。印刷はタイプライターの印字なので，数式などちょっと読みにくいところもあるのだが，急がずのんびりと原文で読み直してみようと思う。

本の整理はそっちのけで Polya-Szego
(ポリア＆セゲー)共著の問題集を読んでいるが，久し振りに眺めると面白い問題が目白押しだ。
比較的初等的で，面白そうなものをピックアップ。 \[
A_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n} \] が $A=\log
2$ に収束することは，区分求積法(リーマン和)から直ぐに分かる。では，どれくらいのスピードで収束するだろうか。Part II の
No.12 によれば \[ \lim_{n\to\infty} n(A-A_n)=\frac{1}{4} \]
が成り立つらしいのである。
これは簡単に解けた。リーマン和は微小長方形の和なので，積分を長方形で近似したときの誤差評価をすればよい。関数$f(x)=\frac{1}{1+x}$は区間$0\leq x\leq 1$で単調減少かつ下に凸であるから，各長方形での誤差は，上からは弦で，下からは右端での接線で押さえることが出来る。
下からの和は，これまた区分求積法で上から押さえたものと同じ値に収束する。そういうわけでこの場合， \[
\lim_{n\to\infty} n(A-A_n)=\frac{1}{2} \lbrace f(0)-f(1)\rbrace
=\frac{1}{4} \] となる。

William Fultonと言えば、Benjaminから出ている代数曲線の入門書のイメージがあったので、代数的トポロジー？ふーん、というのが第一印象だった。邦訳を本屋で見かけた気もするが、スルーしてしまったような。

最近になって、原書の方を読む機会があって驚いた。代数的トポロジー(位相幾何)というと、三角形分割とか単体的ホモロジーとか、特異ホモロジーとか、CW複体とか、そんなイメージでいたのだが、この本は全然違う。低次元の具体的な場合を中心にして、微分形式や積分との関係、リーマン面や代数曲線、ドラム・コホモロジー、そんなことが次から次へと出てくるのだ。

著者によれば、これは歴史にも沿っているのだという。確かにガウスが複素積分を考えたときあたりから、道(パス)のホモトピーなどは始まったわけだが、それでも、第1章のタイトルが「線積分」というのはかなりインパクトがある。だって、代数的位相幾何の本ですよ。そのとっぱじめが積分なのだから。

ということで、ざっと目次を眺めてみる。第1部「平面上の微分積分」第1章 線積分。最初から微分形式の積分、閉形式($d\omega=0$)が完全形式($\omega=df$)になるか、とかと単連結性が関係してくる話。第2章 角度と変形 では、Winding数を積分で定義して(もちろん動機付けあり)、それが整数になること、そして、パスの持ち上げから被覆面(Covering surface)の話へ。第2部「Winding Number」は、いかにもトポロジーらしい話。第3部「コホモロジーとホモロジー」ホモロジーからでなく、コホモロジーから入る。しかも、ドラム・コホモロジーだ 😯 まあ、第1部からの流れではこうなるのだろう。とは言っても、0次元と1次元のみに限定みたいだから、抽象的でめげることはないだろう。言葉がちょっとばかり難しそうだってことを除けば。

このあと、Meyer-Vietorisの完全列やVan Kampenの定理、チェックのコホモロジーと、位相幾何らしくなる。何となく Bott-Tu の本をもっと易しくしたような感じ。とにかく2次元までなのが良い(笑)。

油断していると最後にリーマン面と代数曲線の話が来る。リーマンの双1次形式やヤコビアンとか、アーベル・ヤコビの定理とか。リーマン・ロッホの定理まであって、このあたりは完全に代数曲線論になってしまっている。

詳しく読まずにざっと眺めただけなのに、知ったふうに書いてしまった(汗)。これからちゃんと読んでみます 😉 。