Sukarabe's Easy Living

大体，ルベーグ積分の教科書では，ボレル集合とか出てきるが，ボレルの名前はそこで終わりで一体何なんだろう，と思っていたのだった。ボレルの本を読むと，ルベーグに先駆けて重要な仕事をしていたことが分かる。

ボレルの本は専門書ではなく，大衆向けの啓蒙書という感じなので，具体的で非常に分かりやすい。線分の長さという概念を一般の集合（この場合は数直線，つまり実数全体の部分集合）にどう拡張するか，ということから始まって，まずカミーユ・ジョルダンによる測度の定義を述べる。その定義では，たとえば０と１の間にある有理数の全体は，外測度１，内測度０で，測度が定まらない。一方，０と１の間にある無理数全体についても同様の結果となる。

さてボレルは言う。有理数は無理数にくらべれば，限りなくまばらであるのだから，有理数全体と無理数全体の測度が等しいというのは，まさしく逆説的だ，と。そして，このことを解決するために，ボレルは新しい測度の定義を考えたのだと言う。後になり，ルベーグがボレルの定義に「Ｂ測度」という名を与えたのだそうだ。

０と１の間にある有理数は無理数よりもまばらである。カントールが示したように可算無限個（可付番）でしかない。そこで，それらを一列に並べる。最初の有理数を含む長さε/2の区間を考える。次に２番目の有理数を含む長さε/4の区間を考える。以下同様にして，区間の幅が公比1/2の等比数列となるようにする。０と１の間にある有理数の全体をＥで表すと，Ｅは上で作った区間の合併に含まれるが，この区間たちの長さを全部足しても，εにしかならない。つまり，集合Ｅの測度はεよりも小さいことが結論される。εは任意の正の値をとれるので，Ｅの測度は０でないとおかしいことになる。

こんな感じなのだ。もちろん今の話には，これから作ろうとしている測度の公理が暗黙裡に入ってはいるが，有理数が可付番個しかないということから測度が０でなければならないことが，きわめて自然に説明されている。ここで基礎となるのは可付番個の区間について長さの和をとってよいということだ。つまり可算加法性の重要性がはっきりする。

ボレルの説明は，このような初等的な例から始まって行くのだが，無限個の区間を扱う際の危険性とそれを避けるための基本定理が次に書いてある。その基本定理というのが，何とハイネ・ボレルの定理なのである。つまり今の言葉で言えば，閉区間がコンパクトであるという内容。脚注が付いていて，この定理がボレルの学位論文で初めて述べられ，かつ証明されたということが述べてある。

こうやって読んでいくと，高々可付番個しかない集合は測度０であるべきだ，という事，それから，集合を無限個の区間で覆っている状態から，（無限個のまま処理すると非常識なことも起こりうるということから）有限個でのカバーにもっていきたい，という事，ボレルの名前が付いている２つの事柄が密接に関係していたことが分かる。コンパクトの概念が測度論がらみで出てきたとは知らなかったなあ。

なんとなく心理的障壁を越えた気がしてとても嬉しい。もっとも測度論をまじめに勉強しようとは思わないんだけど（笑）。