Sukarabe's Easy Living

まったくの個人的な備忘録。a, bを互いに素な正の整数とすれば，整数x, yに対して，ax+byの形で表される数は整数全部になる。では，x, yとして自然数，つまり正の整数だけをとったときはどうなるだろうか。よく知られている(？)ように，ab+1 以上の整数はすべて表され，abは表すことができない。これは，平面上で直線 ax+by=c 上に格子点が等間隔にのっていることから分かる。では，abより小さい自然数はどうか。これは表されるものもあれば，そうでないものもある。完全な解答ではないが，Uspensky&Heaslet著 Elementary Number Theory の５９ページ以降，および６６ページに関連する話および練習問題を見つけた。ただし，x, yは正の整数ではなく，非負整数，つまり０以上の整数となっている。これは単に置き換えするだけで直ちに翻訳できる。