[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガウス和に向けた準備(1)

2005年11月03日（木曜日）

ガウス和に向けた準備(1) [ 数学 ]

円周等分方程式がらみの計算は実際にやってみると，非常にきれいで楽しい。ただし，一般的に記述するには少々めんどうな部分もある。 $p=13$ に対する4項周期の計算を少しだけ。

原始根として $g=2$ をとる。すると $g^k$ ( $0\leq k\leq 11$ ) を列挙すると
$1,2,4,\quad 8,3,6,\quad 12,11,9,\quad 5,10,7$
となるから，3個の4項周期
$\eta_0=\zeta^1+\zeta^8+\zeta^{12}+\zeta^5\\ \eta_1=\zeta^2+\zeta^3+\zeta^{11}+\zeta^{10}\\ \eta_2=\zeta^4+\zeta^6+\zeta^{9}+\zeta^7$
ができる。一般論につながる見通しの良い計算のためには，この順番で並べることが大切。つまり， $\left(\mathbb{Z}/p\right)^{\times}$ の巡回群としての構造がポイントとなる。

例えば， $\eta_{0}^2$ の計算は次のようになる。分配法則を使って計算するのだが，その際，項の位置をサイクリックにずらすと見やすくなる。
$\eta_0\cdot\eta_0=\zeta^1(\zeta^1+\zeta^8+\zeta^{12}+\zeta^5)\\ \hspace{40}+\zeta^8(\zeta^8+\zeta^{12}+\zeta^5+\zeta^1)\\ \hspace{40}+\zeta^{12}(\zeta^{12}+\zeta^5+\zeta^1+\zeta^8)\\ \hspace{40}+\zeta^5(\zeta^5+\zeta^1+\zeta^8+\zeta^{12})\\ \hspace{30}=\zeta^{2}+\zeta^{9}+\zeta^{13}+\zeta^{6}\\ \hspace{40}+\zeta^{3}+\zeta^{7}+\zeta^{13}+\zeta^{9}\\ \hspace{40}+\zeta^{11}+\zeta^{4}+\zeta^{13}+\zeta^{7}\\ \hspace{40}+\zeta^{10}+\zeta^{6}+\zeta^{13}+\zeta^{4}$
こうして，縦の列ごとにまとめてみると，第1列の和は $\eta_1$ となっている。同様に，第2列は $\eta_2$ , 第3列は( $\zeta^{13}=1$ なので)4，第4列は $\eta_2$ である。よって，
$\eta_0\cdot\eta_0=4+\eta_1+2\eta_2$
となる。