2007年05月06日（日曜日）
レムニスケートの有理パラメータ表示 [ 数学 ]
以前、Sa氏からレムニスケートって有理曲線なんだよね、と教わったことがある。へえ～と思ったのだが、パラメータ表示のやり方がこれまたへえ～なのだった。どうするのかと言うと、レムニスケート に対して、原点で接する円束(Pencil of Circles)
との交点を考えれば、
でパラメトライズできるというのだ。シャファレビッチの代数幾何の教科書に書いてあるよ、ということだったので、調べてみたところ、確かに Basic Algebraic Geometry の演習問題に載っていた。直線束でパラメトライズするのは常套手段なのだが、円束とは！と驚いた記憶がある。
その後、レムニスケートが双曲線の反転で得られるという、これまた意外な結果を誰かから教わったりしたのだが、そのときはこの二つの事実の関連性に気付かなかった。
先日、シャワーを浴びながらの髭剃り中にぼんやり考えていたら、あ！と気がついた。双曲線は無限遠点を通る直線束、つまり漸近線に平行な直線束によりパラメータ表示されるが、これを反転すれば、レムニスケートと円束になるではないか、と。反転は双有理変換であるから、有理性も保たれる。そうか、そうだったのか。ちょっと嬉しいのである(^_^)。
投稿者 sukarabe : 2007年05月06日 12:55
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コメント
sukarabeさん。お久しぶり。EROICAです。
久しぶりに数学の話ですね。私にはちょっと高度すぎましたが、sukarabeさんが喜んでる気持ちは分かります。
ずっと気になっていながら、解決しようと本当には努力していなかったことが、ある時パッと分かると、すっごくうれしいものですよね。
シャファレビッチには、演習問題にする程度の易しいことでも、普通に数学が出来る程度の人には、何年もかかって、あっそうだったのか！と、思うような難しいことだったりするのですよね。
私も良くそういうことがあります。
インドの数学のかけ算の話も、証明が明解で、分かりやすかったです。楽しませてもらいました。
投稿者 ＥＲＯＩＣＡ : 2007年05月07日 02:08
＞EROICAさん
シャファレビッチの本に、この円を利用せよというヒントがついているのです。だから、有理曲線、つまり有理関数でパラメータできることは交点を求めれば直ちに分かるわけでして、解くのは容易なのでした。ノーヒントだとつらいでしょうが。そうなのですが、いったいどこからこの円を思いつくのだろうか？というのが疑問だったわけですね。それにしても久しぶりにスッキリしましたよ。たまには、こんなことでもないとね。
投稿者 sukarabe : 2007年05月07日 23:05
有理曲線と拝聴し スグ試した顛末
投稿日：2007年 5月 8日(火)17時46分8秒
【Pencil of Circlesの採用で 早とちり】した 顛末
等 等 を ご笑覧下さい ；
http://8518.teacup.com/mynb/bbs?BD=15&CH=5
投稿者 GB : 2007年05月08日 17:54
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