Sukarabe's Easy Living

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若い同僚で Mi君というのが居るのだが、頭が良すぎるので困ってしまう。今日も彼の原稿を見ていて、参ってしまった。

問題は、$0$以上の実数$s$, $t$が$s^2+t^2=1$を満たすとき、 $$x^4-2(s+t)x^2+(s-t{)}^2=0$$ という複2次の方程式の実数解の取りうる範囲を求めよ、というもの。さて、Mi君のコメントは次の通り。$x^2=u$とおけば、この方程式は、 $$s^2+t^2+u^2=2(\mathrm{st}+\mathrm{su}+\mathrm{tu})$$ と書け、$s$, $t$, $u$について対称な形となる。従って、$s+t+u=2k$とおけば、$s$, $t$, $u$は、3次方程式 $$z(z-k{)}^2=a$$ の3解となる、というもの。

なるほどねえ・・・。よくこんなことに気付くよなあ。これが才能というものだろうか。ああ、僕の才能はどこに消えてしまったんだろう(苦笑)。