Sukarabe's Easy Living

見つけたといっても自分の本棚で。買ってはみたが，ちゃんと読んでなかったことが，ばればれだね(苦笑)。

AMSでロシアの数学書から選んで翻訳しているシリーズがあるのだが，その中の一冊。Prasolov, Solovyev の共著で，"Elliptic Functions and Elliptic Integrals" (楕円関数と楕円積分)というタイトル。第5章が「レムニスケートの分割に関するアーベルの定理」という題で，ガウスによる円周17等分(正17角形の作図)から始まって，具体的な計算も含めて，理論がどのように進展したのか分かるように解説してあって楽しい。もちろんすべての計算が self-contained で書いてあるわけではなく，ギャップもあるのだが，それらは普通の教科書で補うことができる。

レムニスケートの話は，弧長の積分表示とその逆関数としてのレムニスケート関数$f\left(x\right)$の導入に始まり，加法定理，倍角公式などと続く。三角関数とパラレルになっていることが分かる。レムニスケートを5等分するには，方程式 $f\left(5x\right)=0$ を解くのだが，素数5がガウスの複素整数の範囲で，$$5=(2+i)(2-i)$$ と分解されることに基づき，$(2+i)$倍角公式と$(2-i)$倍角公式を作って，25次方程式をより低次の方程式に帰着させ，結局は平方根のみで解けることが示されている。ここまで書いてある本はなかなかないのでは？というか，普通は自分でやれ，と言われるかも(苦笑)。

このような計算が可能であるのは，レムニスケート関数の場合$f\left(\mathrm{ix}\right)=if\left(x\right)$という等式が成り立つからだ。これがある故に $(2+i)$倍角の公式などを作ることができる。これこそが「虚数乗法」の最初の例だったりするのだが，その意味では，この計算そのものが(けっこう面倒なんだけど・・・)もっと知られて良いのになあ，と思う。

さて易しい話はここまでで(笑)，このあと一般論に移る。レムニスケートの等分方程式が代数的に可解であることの証明。アイゼンシュタインの証明と，現代風のローゼンの証明の概略が書いてあるが，現代風のは，やはりかなり抽象的だなあ・・・と。