[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガウス和の端緒

2005年11月01日（火曜日）

ガウス和の端緒 [ 数学 ]

ガウスの和は，次の式で定義される。
$G=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right)\zeta^a$
ここで， $p$ は素数， $\left(\frac{a}{p}\right)$ は平方剰余記号，そして $\zeta$ は1の原始 $p$ 乗根。もっと一般に拡張されたものもあるが，一番素朴な本来のガウス和がこれ。一番素朴な形ではあるが，これだけでは，この式がどこから出てきたのか分からない。数論の教科書には定義や性質は書いてあるものの，由来や動機付けがないことが多いのが不満の一つだ。

ガウスの「数論研究」を読むと，円周等分方程式の研究から自然に出てくることが分かる。簡単な例として， $p=7$ の場合(円周7等分)を考えてみる。この場合，原始根として3がとれるので，
$3^0=1,\quad 3^2=2,\quad 3^4=4$
の3つが平方剰余，残りの3,5,6が非剰余となる。そこで，1の原始7乗根 $\zeta$ のベキをこの2種類に分けて，周期
$\alpha=\zeta+\zeta^2+\zeta^4, \quad \beta=\zeta^3+\zeta^5+\zeta^6$
を作る。すると，簡単な計算で，
$\alpha+\beta=-1, \quad \alpha\beta=2$
となるので， $\alpha$ , $\beta$ は2次方程式 $x^2+x+2=0$ の根 $\frac{-1\pm\sqrt{7}i}{2}$ となる。よって，
$\alpha-\beta=\pm\sqrt{7}i$
となる。これが， $p=7$ の場合のガウス和に他ならない。つまり，
$G=\zeta+\zeta^2+\zeta^4-\zeta^3-\zeta^5-\zeta^6=\pm\sqrt{7}i$
である。一般の場合も同様にして $\sqrt{p}$ が出てくる。これはなかなか素敵な結果だ(^_^)。