[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガウス和に向けた準備(2)

2005年11月04日（金曜日）

ガウス和に向けた準備(2) [ 数学 ]

周期の積に計算例の続き。前と同じく $p=13$ , $e=3$ , $f=4$ の場合。原始根は $g=2$ にとっている。 4項周期も前と同じく
$\eta_0=\zeta^1+\zeta^8+\zeta^{12}+\zeta^5\\ \eta_1=\zeta^2+\zeta^3+\zeta^{11}+\zeta^{10}\\ \eta_2=\zeta^4+\zeta^6+\zeta^{9}+\zeta^7$
とし， $\eta_1\eta_2$ を計算してみると，前回と同様にして，
$\eta_1\eta_2\\ =\zeta^2(\zeta^4+\zeta^6+\zeta^{9}+\zeta^7)\\ +\cdots\\ +\cdots\\ +\cdots$
となる。ここで $\cdots$ の部分は省略したが，前回と同じく，サイクリックにずらして縦の列をまとめると周期になっている。これは一般的にも簡単に示される。第1列を足したものは， $\zeta^6$ を含む周期である。同様に，第2列は $\zeta^8$ を含む周期，第3列は $\zeta^{11}$ を含む周期，第4列は $\zeta^9$ を含む周期となる。

ここで，次のような記号を導入すると便利だ。 $\eta^{(\lambda)}$ により， $\zeta^{\lambda}$ を含む周期を表す。正確には，
$\eta^{(\lambda)}=\zeta^{\lambda}+\zeta^{\lambda g^e}+\zeta^{\lambda g^{2e}}+\cdots$
とする。従って，
$\eta^{(1)}=\eta^{(8)}=\eta^{(12)}=\eta^{(5)}=\eta_1$
などとなり，また $\lambda$ が $p$ の倍数のときは，
$\eta^{(0)}=1+1+\cdots+1=f=4$
などとなる。この記号を用いて上の計算を書くと，
$\eta_1\eta_2=\eta^{(6)}+\eta^{(8)}+\eta^{(11)}+\eta^{(9)}\\ =\eta_2+\eta_0+\eta_1+\eta_2\\ =\eta_0+\eta_1+2\eta_2$
となる。要は最初の分配法則の展開のみを考え，あとはそこで出てくる項を含む周期になるはずだから，とやればよいのだ。