[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガウス和に向けた準備(3)

2005年11月05日（土曜日）

ガウス和に向けた準備(3) [ 数学 ]

今までの計算法をまとめると次のようになる。 $p$ は奇素数とし， $p-1=ef$ とする。1の原始 $p$ 乗根 $\zeta$ とmodulo $p$ での原始根 $g$ を一つ選んでおき， $f$ 項周期
$\eta_\nu=\sum_{j=0}^{f-1} \zeta^{g^{ej+\nu}} \qquad (\nu=0,1,2,\ldots, e-1)$
を考える。また，
$\eta^{(\lambda)}=\sum_{j=0}^{f-1} \zeta^{\lambda g^{ej}} =\zeta^{\lambda}+\cdots$
とおく。これは $\lambda$ が $p$ の倍数でないときは， $f$ 項周期の別の表現 (つまり $\zeta^{\lambda}$ を含む周期) となる。 $\lambda$ が $p$ の倍数のときは， $\zeta^p=1$ により，単に $\eta^{(\lambda)}=1+\cdots+1=f$ となる。

このとき， $\eta^{(\lambda)}$ と $\eta^{(\mu)}$ の積は次のようになる。 $\eta^{(\mu)}$ に含まれる項を
$\eta^{(\mu)}=\zeta^{\mu}+\zeta^{\mu_1}+\cdots+\zeta^{\mu_{f-1}}$
とすれば，
$\eta^{(\lambda)}\eta^{(\mu)}=\eta^{(\lambda+\mu)}+\eta^{(\lambda+\mu_1)}+\cdots+\eta^{(\lambda+\mu_{f-1})}$
となる。