[Σ]Sukarabe's Easy Living: 単位円の群構造

2007年02月05日（月曜日）

単位円の群構造 [ 数学 ]

知っている内容でも、別の表現や立場から見直してみると面白いことがある。

単位円 $x^2+y^2=1$ は点 $(1,0)$ を単位元とするアーベル群になる。群の演算を＋で表すと、
$(a,b)+(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
となる。これは複素数の掛け算とも考えられるし、また、三角関数の加法定理と考えることもできる。それはともかく、有理点に対してこれを行うと、ピタゴラス数と関係する。

$3^2+4^2=5^2$ , $5^2+12^2=13^2$ であるから、 $P=$\frac{3}{5},\frac{4}{5}$$ , $Q=$\frac{5}{13},\frac{12}{13}$$ は単位円上の有理点。この２点の和を作ると、
$P+Q=$\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}-\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}, \ \frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13} $=$-\frac{33}{65},\ \frac{56}{65}$$
もまた単位円上の有理点。つまり、 $33^2+56^2=65^2$ となり、新たなピタゴラス数が得られたことになる。