[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガウス和に向けた準備(4)

2005年11月06日（日曜日）

ガウス和に向けた準備(4) [ 数学 ]

(2次の)ガウスの和を(符号を除いて)求める計算例。 $p$ は奇素数とする。 $p=2f+1$ とおき，2つの $f$ 項周期
$\eta_0=\zeta^1+\zeta^{g^2}+\zeta^{g^4}+\cdots+\zeta^{g^{2f-2}} \\ \eta_1=\zeta^{g}+\zeta^{g^3}+\zeta^{g^5}+\cdots+\zeta^{g^{2f-1}}$
を考える。ここで $g$ は modulo $p$ での原始根。ガウス和とは， $\eta_0-\eta_1$ に他ならない。計算は， $p=4n+1$ の場合と $p=4n+3$ の場合で少しだけ違う。具体例で，その違いを見てみよう。

まず， $p=4n+3$ の例として， $p=11$ の場合の計算をしてみる。原始根としては $g=2$ がとれる。 $g^k$ ( $0\leq k \leq 9$ ) の剰余を求めると，
$1,2,\quad 4,8,\quad 5,10,\quad 9,7,\quad 3,6$
となる。つまり，平方剰余の全体 $R$ と平方非剰余の全体 $N$ は，
$R=\left\lbrace 1,4,5,9,3 \right\rbrace, \qquad N=\left\lbrace 2,8,10,7,6 \right\rbrace$
である。すると，
$\eta_0=\sum_{\lambda\in R}\zeta^{\lambda}, \qquad \eta_1=\sum_{\lambda\in N}\zeta^{\lambda}$

まず
$\eta_0+\eta_1=\zeta^1+\zeta^2+\cdots+\zeta^{10}=-1$
は明らか。次に，前回導入した $\eta^{(\nu)}$ なる記号を用いると， $\eta_0\eta_1$ の計算は次のようになる。
$\eta_0\eta_1=\eta^{(1+2)}+\eta^{(1+8)}+\eta^{(1+10)}+\eta^{(1+7)}+\eta^{(1+6)}\\ =\eta^{(3)}+\eta^{(9)}+\eta^{(11)}+\eta^{(8)}+\eta^{(7)} \\ =\eta_0+\eta_0+5+\eta_1+\eta_1 \\ =5+2\eta_0+2\eta_1$
ここで注目すべきは，展開したときに $\zeta^{p}=\zeta^{11}=1$ の項が現れることである。これが $p=4n+3$ の場合の特徴。また， $\eta_0$ と $\eta_1$ の係数は等しくなるが，これはどんな $p$ でも成り立つ事柄。そのことは，直接示すこともできるし，あるいは， $\eta_0\eta_1$ が根の変換に対して不変であることから明らか(ガロア理論)ということもできる。まあ，計算主体でやっている趣旨から言えば，直接的な証明の方が良いだろうが。

ともかく，
$\eta_0\eta_1=5+2(\eta_0+\eta_1)=5+2(-1)=3$
となるので， $\eta_0$ , $\eta_1$ は
$x^2+x+3=0$
の根，つまり $x=\frac{-1\pm\sqrt{11}i}{2}$ となる。以上で， $p=11$ の場合のガウスの和が，
$\eta_0-\eta_1=\pm\sqrt{11}i$
と符号を除いて求められた。