Sukarabe's Easy Living

珍しく(？)数学が書いてある日記を発見した。
ユークリッド空間で起こる接空間、余接空間との同一視（前編） : 南の島で思うこと−タスマニアにて− -北国tv

多様体の接空間の定義は誰しもが一度は悩むところかもしれない。に含まれる多様体，例えば3次元ユークリッド空間内の曲面などでは，接平面は直感的に理解できる。しかし，そのままでは一般の多様体には適用できない。

自分の経験では，3年で多様体の授業を受ける前に，教養の段階で(S先生による)多変数の微積分の授業があった。あったのだが，何と接ベクトルの定義は微分作用素によるものだった(笑)。ちなみに3年の多様体の授業(O先生)は超曲面の話から始まった。おい，順序が逆だろう(苦笑)。手元にS先生の講義ノートがないので確認できないのだが，このような形で接ベクトル・接空間を導入したのは，シュバレー(Chevalley)の Theory of Lie Groups が最初という話だったと思う。n次元多様体の接空間は n次元の線型空間であれば何でもOKというわけにはいかない。そのときには理解していなかったが，曲面の場合の自然な拡張になるためには，いわゆる「自然な同型」になってないとダメ。具体的に言えば，多様体の局所座標系をとりかえた場合の接空間の座標の変化が，に埋め込んだ場合と同じになっている(つまり同種のテンソルになる)必要がある。これも当時は知らなかったが，Chevalleyがこの本を書いた頃は，一般の多様体の定義がきちんとなされていなかったようだ。リーマン面がWeylの本できちんと定義されたように，多様体の基礎付けもChevalleyの本でなされたわけだ。それに伴って，それまでの添え字だらけのテンソル解析は座標を用いない intrinsicな形に変身した。そういう背景を知らないと，このような定義を受け入れることは心理的に難しいのではないか。

当時 Chevalleyの本も読んだのだが(といっても最初の多様体の定義の所だけ)，接ベクトルの定義には納得できなかった記憶がある。ある程度の納得ができたのは，服部晶夫先生の岩波全書の本(これも手元にないのでタイトル忘れたけど，単に「多様体」だったかな？)を読んでから。接ベクトルをその方向に沿った「方向微分」と関連づける説明があったと思う。この説明が一番良かったかなと思う。

今から思うと，こういう定義の妥当性とか必然性とか，そういった説明がもっと欲しかった。もっとも何でもすぐに飲み込める人もいるから，そういう人にはまどろっこしいのだろうが・・・。