[Σ]Sukarabe's Easy Living: ジーゲルの「超越数」

2006年01月13日（金曜日）

ジーゲルの「超越数」 [ 数学 ]

ジーゲル(Carl Ludwig Siegel)の本は日本語訳を出版できなかったと思う。なんでもジーゲルが、自分が理解できない言語への翻訳を拒否しているという話だった。勘違いしているかもしれないが。ということで、私家版が密かに(？)流通したりするのであった。本棚を整理していたら、ジーゲルの「超越数」の翻訳が出てきた。もうかなり前に某先生からもらったもの。学生のときに自分で訳して印刷されたらしい。なんてったって、わら半紙にガリ版刷りですからね。時代が分かろうというもの(笑)。

内容は、自然対数の底 $e=2.7182\cdots$ が無理数であることの証明から始まって、最後はGelfond-Schneiderの定理( $2^{\sqrt{2}}$ が超越数であることなど)まで、ゆったりとした感じで進む。先を急ぐというよりは、あちこちきれいな風景を眺めながら気が付くと山頂に着いていたという感じ。例えば、 $e^x$ の無限級数展開を用いて $e$ が無理数であることを証明したあと、その流れで $e$ が2次の無理数でないこと(つまり、どんな整数 $a$ , $b$ , $c$ に対しても、 $e$ が2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解にならないこと)の簡単な証明が載っている。どうせ後で $e$ が超越数であることを証明するのだから、なくても構わないのだが、その証明法がちょっと素敵だったりする。ジーゲルの本や講義録には、このように悠然としたところがあるのだ。いいよなあ〜。