[Σ]Sukarabe's Easy Living: 整数パズル

2006年06月04日（日曜日）

整数パズル [ 数学 ]

以前、どこかで見つけた問題。出典は不明。「連続した2つの自然数の立方の差がたまたまある自然数の平方に等しくなっていたとする。このとき、その自然数は、連続した2つの自然数の平方の和として表すことができる」というもの。
$8^3-7^3=169=13^2$
がそういう場合。このとき、確かに $13=2^2+3^2$ となっている。式で書くと次のようになる。
$(m+1)^3-m^3=N^2$
であるときは、 $N=k^2+(k+1)^2$ と表される。

以下の証明は短いが、いささかトリッキーかも。もっと自然な証明が欲しいが・・・。

仮定から、
$3m^2+3m+1=N^2$
となるが、これを次のようにペル方程式の形へと変形する。平方完成して・・・
$\begin{eqnarray} 3\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}&=N^2 \\ 3(2m+1)^2+1&=(2N)^2 \end{eqnarray}$
そして、定数項を移項して因数分解する。
$3(2m+1)^2=(2N+1)(2N-1)$
ここで、ユークリッドの互除法などにより、 $2N+1$ と $2N-1$ は互いに素であることがわかるから、
$2N+1=x^2, \quad 2N-1=3y^2$
あるいは、
$2N+1=3x^2, \quad 2N-1=y^2$
となる。ここで、前者の場合、 $x^2=3y^2+2$ となり、3で割った余りを考えると直ちに矛盾が出る。つまり、この場合はあり得ない。よって、後者の場合に限るが、 $y$ は奇数となるので、 $y=2k+1$ と置けば、
$N=2k^2+2k+1=k^2+(k+1)^2$
となる。これで証明されたことになる。