[Σ]Sukarabe's Easy Living: 有限群の表現

2006年10月11日（水曜日）

有限群の表現 [ 数学 ]

思い起こせば、大学2年の冬学期にH先生の授業で習ったはずの内容なのであった。何というか抽象的で理解できなかったんだよなあ。理解できなくてもその後、それほど困らなかった(苦笑)ということもあり、是が非でも理解しようと頑張ることもなかった。抽象的な事がすべて苦手ということでもなかった。ホモロジー代数とかはけっこう好きだったし、層(Sheaf, faisceaux)とか層係数コホモロジーとかも嫌いではなかった。ガロア理論も平気。というかガロア理論、全然抽象的じゃないが(笑)。

何故か群の表現論は全然駄目であった。たしか群環(Group Algebra)とかあたりから落ちこぼれた気がする。そんなワタシであったのだが、この度、新内閣の精神に則り、再チャレンジしてみたいと思う(笑)。

で、すごく初歩的な話。「連続群論」と平行して、同じ杉浦先生の「応用数学者のための代数学」(岩波書店)というのを読んでいるのだが、情けなくなるくらい初歩のところで感激(苦笑)。おお、こんな事だったのか、と。いや、書くのが恥ずかしいのであったが。

3次対称群 $S_3$ を考える。置換(231)に行列 $\left(\begin{array}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)$ を対応させる、といった感じで、 $S_3$ から $GL_3(\mathbb{C})$ への準同型写像を作る。要点は置換に対応して $\mathbb{C}^3$ の標準基底 $e_1$ , $e_2$ , $e_3$ の置換をするということ。そうすると、これは中への同型になる。つまり忠実な表現ということになる。なんだ、簡単じゃあないかぁ(笑)。というか、この行列表現、うすうす知っていたなあ、と。

この表現を $\rho$ で表す。 $e_1+e_2+e_3=\left(\begin{array}1\\1\\1\end{array}\right)$ で張られる空間は、明らかにこの表現の不変部分空間になっている。そこで、その空間とそれに直交する空間に分解すれば、表現 $\rho$ は $\rho=\rho_1\oplus\rho_2$ と直和分解される。ここで、 $\rho_1$ は１次の恒等表現、 $\rho_2$ は2次の表現で、いずれも既約になる。これで、 $S_3$ の既約表現が二つ得られたことになる。 $e_1+e_2+e_3$ を含む正規直交基底を作って、それに関する $\rho_2$ の行列表現をすると、(基底の取り方にもよるが)、例えば互換(12), (13)は、それぞれ、
$\left(\begin{array}-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{array}\right), \qquad \left(\begin{array}-\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\ -\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{array}\right)$
になる。これって線対称移動じゃないか！へえ～、なのである。

$\rho_1$ , $\rho_2$ の他に交代表現もあるから、全部で3個の既約表現が得られたことになる。これで $S_3$ の既約表現は尽くされるらしいのだが、その証明は、もっと先まで読まないと分からないらしい。

ということでページをめくってみると・・・げげげ！やはり群環(群多元環)が(大笑)。ああ、やっぱりいらっしゃったのね、トホホ。

投稿者 sukarabe : 2006年10月11日 17:49

トラックバック

このエントリーのトラックバックURL:
http://njet.oops.jp/cgi/mt/mt-tb-alt.cgi/1263

　こんにちは。
　久しぶりに数学の話題。と思ったら群の表現。
　実は私、矢ヶ部巌著「数Ⅲ方式ガロアの理論」をマスターするまで、群論は勉強したくない、と思っていて、群論は「群論への３０講」とか、横田一郎著「群と位相」で、ほんの少しかじっただけなのです。
　大学一回生の時、裳華房の「代数概論」のゼミに出ていて、いつも落ちこぼれていました。ホモロジー代数も、まだ手中にしていません。
　でも夢はでっかく持っているのです。群の表現に関しては、横田一郎著「群と表現」を読んだ後、「古典型単純リー群」「例外型単純リー群」と進んで、最後には、ポントリャーギンの「連続群論」まで行きたい。
　ホモロジー代数に関しては、マックレーンの「圏論の基礎」を読んだ後、岩波基礎数学選書の河田敬義著「ホモロジー代数」を読んで、層についても知りたい。
　有限群の表現に関しても、鈴木通夫著「群論　上・下」を全部読んで、有限群の表現は任せてくれ、と言えるようになりたい。
　何年かかるんでしょうねえ。今日も「数Ⅲ方式ガロアの理論」を読んでいるＥＲＯＩＣＡでした。

投稿者ＥＲＯＩＣＡ : 2006年10月12日 16:59

＞EROICAさん

「数III方式ガロアの理論」は所々つまみ食いしましたが、通しでは読んでないです。具体的過ぎて自分にはかえって分かりにくかったです(苦笑)。むしろ、ガロア理論の概要を知ってから読むと、なるほどなるほどと理論に肉付きができる感じで面白かったです。ガロア理論そのものは、僕は藤崎源二郎さんの「体とガロア理論」で勉強しました。丁寧で分かりやすかった記憶があります。

投稿者 sukarabe : 2006年10月14日 08:02

　お返事ありがとうございます。
　藤崎源二郎さんの「体とガロア理論」は、素晴らしい本ですね。私はまだ１章しか読んだことがありませんが、その丁寧さには感動したのを覚えています。多項式環をあんなに丁寧に定義してある本を見たのは、初めてでした。普通帰納的に定義してしまうでしょ。
　永田雅宜著「可換体論」を何倍ものページ数を使って詳説したもののように思いました。
　５次方程式の非可解性や、角の３等分線の作図不能性もきちんと書いてある。でも、高校時代、群論というものは本当にいるんだろうか？　と疑問に思った私に応えてくれた、「数Ⅲ方式ガロアの理論」で、方程式の可解であるための必要十分条件を見届けるまでは、一般論に走りたくないと思っているのです。これは私の美学の問題です。アーベル群や正規部分群というものを本当に歴史的に理解してから、現代の代数学を学びたいと思っています。
　ｓｕｋａｒａｂｅさんも良い本で勉強されたのですね。

投稿者ＥＲＯＩＣＡ : 2006年10月17日 00:42

藤崎源二郎「体とガロア理論」　素晴らしい本
と　記載されて　おられるので　質問致します；

問１；　x^3 + x^2 - 2*x - 1 = 0の解をx=α,β,γとする.
上の方程式のα以外の二つの解　β,γ　を αの二次式で表せ　

問２；　x^3+3x^2-1=0の一つの解をαとする。
上の方程式のα以外の二つの解　β,γ　を αの二次式で表せ　

上の問は多様な発想で解けますが、
根の置換で　「体とガロア理論」　に関わる問とも見做せます。
双方とも　商環Q[x]/pj(x)*Q[x]が実はQの正規拡大体ですし。(j∈{1,2})
----------------------------------------------

質問；「上の問1,2の意味するところは何処に在るのでしょうか」
----------------------------------------------

投稿者 G : 2007年08月26日 19:36

＞Gさん

はじめまして。えっと、ちょっと困惑しております。第1に、藤崎先生の「体とガロア理論」を「素晴らしい本」と評したのはワタシではなくて、EROICAさんですので、この質問はワタシにではなく、EROICAさんのサイトでされるのが適当かと思います。第2に、すでに「正規拡大」と書かれているので、あれま、自問自答されているなあ、と。これ以上の意味と言われてもワタシには分かりませんし。ちなみに2つとも円分体(7等分と9等分)の部分体(ガウスの2項周期による)のように思いますが、それは偶然なのでしょうか？

投稿者 sukarabe : 2007年08月27日 07:09

ガロア理論そのものは、僕は藤崎源二郎さんの「体とガロア理論」で勉強した。
　　　　　　　丁寧で分かりやすかった。
　　　　　　　の方を引用すべきでした。

先の二問は正規拡大体が　本質　だと　自答していますが、
下の　問達　を　　　解くことにより、　　解くことに意義が在るか
　　　　　　　感想を　お願いいたします。

特に問３は（問２からの商環Q[x]/p(x)*Q[x]は正規拡大体にならず、ならなくても
先の二問の如く他の解がαの（Qの代数拡大体係数の）多項式で表現可能で
　　　　　正規拡大体が　本質でもないのです。
---------------------------------------------------------
問１　　　　　次の連立方程式を考える。
y = (-I*Sqrt[3/5] - x/2 + I*Sqrt[3/5]*x - 1/2*I*Sqrt[3/5]*x^2);
z = (-I*Sqrt[3/5] - y/2 + I*Sqrt[3/5]*y - 1/2*I*Sqrt[3/5]*y^2);
x = (-I*Sqrt[3/5] - z/2 + I*Sqrt[3/5]*z - 1/2*I*Sqrt[3/5]*z^2);
全部で8組の相異なる複素数解をもつことを,
多様な発想で, 具体的に解を求めて示せ。
-----------------------------------------------------------
　　　　　或る3次方程式の一つの解をαとする。
　　　　　　　その3次方程式の　α以外　の
解βが -I*Sqrt[3/5]-α/2+I*Sqrt[3/5]*α-1/2*I*Sqrt[3/5]*α^2
　　　　　　　　　　　と表せた。
問２；或る3次方程式とは如何なる方程式か?
　　　（求めることが叶うでしょうか? 可能です!）
問３；もう一つの解γも上のような形で表せ。
　　　　問；　γから　上の連立方程式を考えると酷似の問をつくり
　　　　　　　　　　全部で8組の相異なる複素数解をもつことを,
多様な発想で, 具体的に解を求めて示せ。

投稿者 G : 2007年08月27日 10:53

　　　　　　　　　正規拡大体の話に戻ります
http://b4.spline.tv/study777/?message=325
　　　　　　【事の発端】は上に在ります。

何故　超難問　と　云われるのか　理解に苦しんでおります。

商環　Q[x]/(x^3-x+1/3）*Q[x]　は Q　上　n=3次の　正規拡大体故
　　α以外の解が　αのn-1次式∈Q[α]と表現可能なのは【自明】と云わず！
　　　　　　　具体的に表現を試みていただけないでしょうか?

その暁に　；　何故　超難問　と　云われるのか　を　考察　願えませんか?
　　　　　　　　以上　お願い　致します（食後のひとときの息抜きとして）

--------------------------------------------------
　　問は　以下のように　設問　すべき　だと　考えます（が如何でしょうか）　；

●　商環　Q[x]/(x^3-x+1/3）*Q[x]　は　体をなす（必要なら証明を）。
● x^3-x+1/3=0 の解をx=α,β,γとする.
　一つの解　α　を Qに添加し、拡大体 Q(α)をつくると上の商環と同型であるが、
Q(β,γ)= Q(α) であることを　証明せよ。

とくに　Q(β,γ)　の　元　β は Q[α] の元として一意的に表示可能。実行せよ。
とくに　Q(β,γ)　の　元　γ は Q[α] の元として一意的に表示可能。実行せよ。

◎　上は　実際に　x^3-x+1/3=0 の解　を求めなくても証明可能でしょうが
　　　　　　　　求めることによる　証明をも　お願いします。

投稿者 G : 2007年08月27日 14:00

＞Gさん

えっと～(苦笑)、御希望に添えず申し訳ないです。何故に超難問なのか理解に苦しむ、とおっしゃっているので、解答はお持ちかと存じます。ということで(笑)。ちゃんと解いてないので間違ってたらごめんなのですが、ガロア群は３次の巡回群(S_3ではなくてA_3)のようですから、最初に出題された方程式と同様なのでは？

投稿者 sukarabe : 2007年08月28日 10:13

http://b4.spline.tv/study777/?message=338

実際に　ちゃんと解いて　(発想達も含め）　解くにあたいしない
のでしたら、そのワケを　記載してください。

投稿者 G : 2007年08月28日 10:58

An error occurred: Died at mt-comments-alt.cgi line 29. と

http://b4.spline.tv/study777/?message=339

投稿者 G : 2007年08月28日 18:35

http://b4.spline.tv/mynb/?message=42
初歩的な関連事項

投稿者 G : 2007年08月29日 00:41

http://b4.spline.tv/mynb/?message=42
初歩的な関連事項

投稿者 G : 2007年08月29日 00:42

http://b4.spline.tv/mynb/?message=42
初歩的な関連事項