[Σ]Sukarabe's Easy Living: ある期待値の問題(１)

2006年11月22日（水曜日）

ある期待値の問題(１) [ 数学 ]

学生時代に学園祭で質問された問題をふと思い出した。０以上１以下の実数をランダムに選んで足していくとき、何回ではじめて１より大きくなるか、回数の期待値を求めよ、というもの。

確率は苦手なのだが、仕方なく解いた。僕の方法は期待値の関係式を直接作るので、厳密性に欠けるかもだが、概略次の通り。 $x\geq 0$ として、和が $x$ より大きくなるまでの回数の期待値を $E(x)$ とおく。一回目に引いた数字を $t$ とすると、残りは $x-t$ になるから、
$E(x)=1+\int_0^x E(x-t)\,dt$
が成り立つだろう。多分・・・(ちょっと弱気)。あ、 $t<0$ のときに $E(t)=0$ と延長しておく必要があるか・・・。この積分方程式を解けば、 $E(x)=e^x$ となる。よって、 $x=1$ として、 $e=2.7182\cdots$ というのが答え。結果が意外で、しかも自然対数の底がこんなところで！という驚きもあり、へえ～という感じで印象に残っていた。