[Σ]Sukarabe's Easy Living: ある期待値の問題(２)

2006年11月22日（水曜日）

ある期待値の問題(２) [ 数学 ]

０から１までの数字をランダムに選んだとき、n回で初めて和が $x$ を超える確率を $p_n(x)$ とする。一方、n回までの和が $x$ を超えない確率を $q_n(x)$ とする。すると、
$p_n(x)=(1-q_n(x))-(1-q_{n-1}(x))=q_{n-1}(x)-q_n(x)$
となるから、和が初めて $x$ を超えるまでの回数の期待値 $E(x)$ は
$E(x)=\sum np_n(x)=q_0(x)+q_1(x)+q_2(x)+\cdots=1+q_1(x)+q_2(x)+\cdots$
となる。よって、n回足しても和が $x$ を超えない確率 $q_n(x)$ を求めればよいことになる。多分この方針で解くのが正統派なんだろうな、と思う。何故コンボリューションが現れるかは次回。