[Σ]Sukarabe's Easy Living: ある期待値の問題(３)

2006年11月23日（木曜日）

ある期待値の問題(３) [ 数学 ]

０から１までの実数をランダムに選ぶので、確率密度関数は $f(x)=1$ になる。 $x$ 以下の実数を取り出す確率は
$q_1(x)=\int_0^x f(t)\,dt=x$
となる。２回取り出したときに和が $x$ 以下になる確率 $q_2(x)$ は、
$q_2(x)=\int_0^x f(t)q_1(x-t)\,dt=\frac{x^2}{2}$
以下同様にして、n回までの和が $x$ 以下になる確率 $q_n(x)$ は
$q_n(x)=\int_0^x f(t)q_{n-1}(x-t)\,dt=\frac{x^n}{n!}$
となるだろう。ホントかな？ちょっと自信ない(苦笑)。まあ、あってるとして続けると、和が $x$ を超えるまでの回数の期待値 $E(x)$ は、
$E(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots=e^x$
となる。