[Σ]Sukarabe's Easy Living: 一歩前進

2007年01月03日（水曜日）

一歩前進 [ 数学 ]

[備忘録] 例のラマヌジャンの連分数に関する G. N. Watson の論文。以前読んだときに挫折した箇所を久しぶりに再チャレンジ。こっちが近視眼的になっていたせいもあると思うが、もう少し丁寧に書いてくれよ～(苦笑)、という気持ち。とりあえず、今回はクリアーしました！

忘れないようにメモ。 $\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n/5})$ を無限級数展開すると、オイラーの五角数定理によって、
$\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n/5})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}q^{n(3n+1)/10}$
となる。右辺の分数冪のうち、 $n\equiv 4 \pmod{5}$ に対応するものを考える。 $n=-5m-1$ と置けば、それに関する和は
$\sum (-1)^{m+1}q^{1/5+5m(3m+1)/2}$
となる。従って、これを $\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{5n})=\sum (-1)^{m}q^{5m(3m+1)/2}$ で割れば、商は $-q^{1/5}$ となる。以上から、 $J_1$ , $J_2$ を $q$ の整数冪の級数として、
$\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-q^{n/5}}{1-q^{5n}}=J_1-q^{1/5}+q^{2/5}J_2$
の形で表される。