[Σ]Sukarabe's Easy Living: 連分数とフェルマーの定理

« オルガンとエレクトーンのはざま | メイン | オルガンとエレクトーンのはざま(その二) »

2007年01月28日（日曜日）

連分数とフェルマーの定理 [ 数学 ]

ここでいうフェルマーの定理というのは、4で割って1余る素数は2個の平方数の和で書ける、というもの。比較的初等的な証明をHenry J. S. Smithが与えていると、どこかに書いてあったので調べてみることに。

H. J. S. Smithの全集第1巻がInternet Archiveにあるので、1855年の論文を読もうとしたのだが、ラテン語のため挫折。2ページの短いやつなので山勘で読めなくもないのだが、ロジックの肝心な部分がやはり駄目だった。素数 $p$ に対して、 $\frac{p}{m}$ の連分数展開を考えるというもの。一体どうするのやら。

いろいろ調べてみると、クリスタルの代数学の教科書(2巻本)に証明が載っているらしいので、ChrystalのAlgebraを探すのだが、Internet Archiveにも、MichiganにもCornellにもない。専門書じゃなく、(19世紀末ごろの)高校の教科書みたいなものだからかなあ。ともあれ、http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupid?key=olbp36404 なる謎の(？)ページに辿り着き、何とかPDFをダウンロード。ここもアーカイブか何かだろうか？

クリスタルの第2巻に、確かにSmithによる証明というのが載っていた。具体例もついていて理解できる。なるほど！ $p=4n+1$ の素数に対して、分母 $m$ が $\frac{p}{2}$ より小さい、つまり $2n$ 以下のものをすべてとり、2より大の既約分数 $\frac{p}{m}$ を考える。これら $2n$ 個の既約分数を連分数展開すると、 $p$ は $2n$ 通りのcontinuantとして表される。continuantというのは、連分数を普通の分数に戻したときにできる式のこと。例えば、
$a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}=\frac{abc+a+c}{bc+1}$
なので、
$[a,b,c]=abc+a+c, \quad [b,c]=bc+1$
などと書き、これをcontinuantと呼ぶ。これに関しては幾つかのきれいな関係式がなりたつのだが、それらは初等数論(高木貞治の初等整数論講義など)の本にあるので、ここでは省略。

このcontinuantの性質として、変数を左右逆転させても値が同じというものがある。従って、 $p$ が
$p=[a,b,c,d]$
と表されたとすれば、
$p=[d,c,b,a]$
も成り立つ。この様な表現が全部で $2n$ 通り、つまり偶数個あるのだが、そのうち、 $p=\frac{p}{1}$ に対応する $p=[p]$ という左右対称なものが1つあるのだから、もう一つ左右対称な表現が存在するはずだ、というのがポイント。この左右対称なcontinuantから $p$ が2個の平方数の和に表されることが示される。 $p=[a,b,c,c,b,a]$ ならば、
$p=[a,b,c,c,b,a]=[a,b,c]^2+[a,b]^2$
というように。このあたり、continuantに関する少し詳しい知識が必要になってくる。