Sukarabe's Easy Living

Continuantの計算とかやっていると、非常にアルゴリズム的な色彩が強い。してみると案外クヌース(Knuth)先生の本とかに書いてあるかもと調べてみた。すると、Concrete Mathematics の278ページにその名もずばり、Continuants という節があった。そこでは、

により定義してあった。変数の個数に応じてcontinuantの方も添え字で区別する方が、確かに理にかなっているかな。もっとも、変数の個数が分かっているときは、単にと添え字を省略するとも書かれていたが。

ずっと読んでいくと、オイラー (Euler) が次のような法則性を発見していた、と書いてあった。例えば、 変数が4個のときは、

となるのであるが、これは次のようにして得られると。まず、変数全部をこの順番に並べたもの、abcdを作る。次に、隣り合った二つの積を消していくという操作を可能なすべてのパターンに渡って行う。今の場合は、
    abcd,     abcd,     abcd,     ab cd
つまり、, , , となる。以上をすべて足し合わせればよい。これは、モールス信号のパターンと対応している。

残念ながら、このことの証明は書かれていなかった。ちょっと残念。これを認めるならば、組合せ的な考え方で、いろんな等式の証明ができるみたいなのだが。