[Σ]Sukarabe's Easy Living: 統計力学始めました

2007年06月18日（月曜日）

統計力学始めました [ 物理 ]

釧路に行くとき、飛行機の中で読もうと、久保亮五「統計力学」(共立全書)を鞄に入れていった。量子力学のきっかけとなったプランクの空洞(黒体)輻射の式を導く過程がどうしても気になったので、ここを何とかしないと先に進み気がしなかったのだ。こういう風にひっかかるのは、挫折の元なんだがなあ(苦笑)。

朝永「量子力学」の付録にあるボルツマンの原理の説明は物理的なもので、ワタシには敷居が高いというか、まだ準備不足であまり理解できなかった。それに対して、久保亮五さんの入門書では、数学的な取り扱いで、これならなんとかなりそうだと思ったのだった。

概略は次の通り。気体分子のように、極めて個数が多い一つの系(例えば容器の中の気体分子全体とか)を考える。全体のエネルギー $E$ は一定で、プランクが仮定したように、単位エネルギー $\epsilon_0$ の整数倍 $E=M\epsilon_0$ とする。一定のエネルギー $E$ が $N$ 個の分子に分配されるのであるが、それって要するに、整数 $M$ を $N$ 人に分配することと同じである。やったー、これなら数学だから分かる(笑)。分子のエネルギーとしてゼロも許されるから、これはいわゆる重複組合せになり、分配の仕方の数は、
${}_N{\rm H}_M=\frac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$
となる。特定の分子を考えたとき、そのエネルギーが $x\epsilon_0$ である場合の数は、そのうちの
$_{N-1}{\rm H}_{M-x}=\frac{(M+N-2-x)!}{(M-x)!(N-2)!}$
である。よって、特定の分子のエネルギーが $x\epsilon_0$ である確率 $p(x)$ が計算される。 $M$ と $N$ が極めて大きいことに注意して近似すると、
$p(x)=\frac{N}{M+N}\left(\frac{M}{M+N}\right)^{x}$
となる。つまり、 $p(x)=Ae^{-cx}$ の形。これで、特別な場合だが、ボルツマンの原理に出てくる指数関数の説明が出来る。

考えてみると、トータルのエネルギーが一定だから、特定の分子のエネルギーが大きくなる確率はとても小さい。そう考えると納得できる結果だ。

投稿者 sukarabe : 2007年06月18日 05:42

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　お久しぶりです。ＥＲＯＩＣＡです。
　朝永の付録は私も読んだことがあり、そのギャップの無さに感動したのを覚えています。
　ｓｕｋａｒａｂｅさんが、どこでつまずいたのだろう、と思って、あの本を開いてみたのですが、原因が分かりました。
　朝永さんの本では、解析力学が仮定されていたのですね。ｓｕｋａｒａｂｅさんが、物理的で敷居が高い、と感じられたのは、解析力学の洗礼をまだ受けていなかったからだと思われます。
　そうだとすると、この本を読むのは、少し苦痛が多くなるかも知れません。解析力学や電磁気学が、仮定されているからです。
　これらについては、やはりそれぞれの分野の本を１冊読まなければならないでしょうから、結構大変です。
　でも、ごり押しで朝永の「量子力学」を読んでしまうことも可能かも知れません。丁寧に書いてあるので。
　解析力学って、以外と物理を勉強するとき邪魔してくるものなんです。独特の考え方をするところがありますので。
　ｓｕｋａｒａｂｅさんの数学力があれば、朝倉物理学大系の１巻２巻を読むというのが理想なのですが、それでは１年かかってしまいますね。
　朝永を絶賛した私としては、申し訳なく思っています。
　何とか数学力でがんばってください。

投稿者ＥＲＯＩＣＡ : 2007年06月21日 23:44

＞EROICAさん

こんにちは。まあ、なんとかだましだまし読んでいこうかと思います。解析力学も実は以前から気になっておりまして・・・(苦笑)。というか、シュレディンガーの方程式ってハミルトン・ヤコビで変数を微分作用素にしたものだから、解析力学知らずにすますことは、もともとできないんですよね。ううむ。

投稿者 sukarabe : 2007年06月24日 19:46

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