[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガロア群が巡回群となる3次方程式について (1)

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2007年08月30日（木曜日）

ガロア群が巡回群となる3次方程式について (1) [ 数学 ]

まあ、せっかくコメントして頂いた(苦笑)ことだし、ちょっとだけ。というか、さしせまった原稿があるワタシとしては、こんなことしている場合ではないのだが。逃避行動なのか？(爆)

一般の3次方程式は $x^3+ax^2+bx+c=0$ という形であるが、 $x+\frac{a}{3}=t$ とおけば $t^3+pt+q=0$ の形に変形される。よって $x^3+px+q=0$ で考えても一般性を失わない。この3次方程式のガロア群は一般的には3次対称群 $S_3$ であるが、特別な場合、具体的には判別式 $D$ の平方根が基礎体(ここでは有理数体 $\mathbb{Q}$ とする)に属するときには3次交代群 $A_3$ になる。この場合には、3つの解(根) $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ に対して、
$\varphi(\alpha)=\beta, \quad \varphi(\beta)=\gamma, \quad \varphi(\gamma)=\alpha$
となる有理数係数の多項式 $\varphi(x)$ を具体的に求めることができる。

判別式 $D$ は差積 $\Delta=(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)$ の2乗であるから、上の条件は差積 $\Delta$ が基礎体 $\mathbb{Q}$ に属することと同じである。解(根)と係数の関係から
$\beta+\gamma=-\alpha, \quad \beta\gamma=-\frac{q}{\alpha}$
であることに注意すれば、
$\beta-\gamma=\frac{\Delta}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)}=\frac{\Delta}{2\alpha^2-\frac{q}{\alpha}}$
となり、これは $\alpha$ の多項式で表すことができる。 $\beta+\gamma$ も $\alpha$ の多項式で表されているから、これで問題は解けたことになる。

次回はコメントにあった具体的な方程式 $x^3-x+\frac{1}{3}=0$ に対して、 $\varphi(x)$ を求める予定。

投稿者 sukarabe : 2007年08月30日 09:07

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　　　　　　　　これで問題は解けたことになる.
<---なる　発想を　有難うございます(3次以上のときもそうなさいますか？）
　　　　　　　（私は無論別の発想で瞬時に　解いております）
-------------------------------------------------------
【忙中閑あり　 One can find moments of leisure even
on the busiest of days.】　の　息抜きの　際お願いします　；

　　＜忙中閑あり　0.000001秒閑∃なら　叶う　発想が在ります＞

http://b4.spline.tv/mynb/?message=43

投稿者 G : 2007年08月30日 18:47

＜忙中閑あり　0.000001秒閑∃なら＞　叶う　たので　報告します；
　　　　　　　逃避行動の顛末；
　　　P3(x)=x^3 - x + 1/3　のとき
{0.*Second, (-1 + x)/(-2 + 3*x)}<--有理式◎「●
　　　　　　　　と　0秒　で　叶いました。

<--- 問1　α　の　有理式　M(α)=(a*α+b)/(x+d)　も　
解であるように　その有理式　M(α)　を定めよ.（有理式は２つ在る）

投稿者 G : 2007年08月30日 19:10

直前で有理式　M(x) を　定めたので　このほうから
　http://b4.spline.tv/mynb/?message=44

投稿者 G : 2007年08月30日 21:02

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