[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガロア群が巡回群となる3次方程式について (2)

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2007年08月30日（木曜日）

ガロア群が巡回群となる3次方程式について (2) [ 数学 ]

具体例として、コメント欄で出題されていた方程式 $f(x)=x^3-x+\frac{1}{3}=0$ を考えてみる。あまり省略せずに書くために、数回に分けることにする。最初は差積 $\Delta$ の2乗、つまり判別式の値を計算する。
$\Delta^2=(\alpha-\beta)^2(\alpha-\gamma)^2(\beta-\gamma)^2$
である。最初の因数は
$(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-\gamma)^2-4\cdot\frac{-1}{3\gamma}=\frac{3\gamma^3+4}{3\gamma}$
となる。 $\gamma$ は $f(x)=0$ の解であるから、 $\gamma^3=\gamma-\frac{1}{3}$ となるので、代入すると
$(\alpha-\beta)^2=\frac{3\gamma-1+4}{3\gamma}=\frac{\gamma+1}{\gamma}$
他の因数も同様であるから、
$\Delta^2=\frac{(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)}{\alpha\beta\gamma}$
となる。 $\alpha\beta\gamma=-\frac{1}{3}$ であり、また $(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)$ は、展開して解と係数の関係を用いると、
$(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=-\frac{1}{3}-1+0+1=-\frac{1}{3}$
となる。従って、 $\Delta^2=1$ である。