[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガロア群が巡回群となる3次方程式について (3)

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2007年08月31日（金曜日）

ガロア群が巡回群となる3次方程式について (3) [ 数学 ]

前回は $\Delta^2=1$ を求めるところまでだった。これから $\Delta=\pm 1$ となる。符号は根の順番で変わるから、必要なら $\beta$ と $\gamma$ を入れ替えて $\Delta=1$ としてよい。このとき、
$\beta-\gamma=\frac{1}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)}$
となる。分母は、
$(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=\alpha^2-(\beta+\gamma)\alpha+\beta\gamma=2\alpha^2-\frac{1}{3\alpha}=\frac{6\alpha^3-1}{3\alpha}$
であるが、 $\alpha^3=\alpha-\frac{1}{3}$ であるから、
$(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=\frac{6\alpha-2-1}{3\alpha}=\frac{2\alpha-1}{\alpha}$
これを上の $\beta-\gamma$ の式に代入すれば、
$\beta-\gamma=\frac{\alpha}{2\alpha-1}$
となる。これを $\alpha$ の多項式で表すところまでやるつもりだったが、今回はここで終了する。以下は次回にもちこし。