[Σ]Sukarabe's Easy Living: ガロア群が巡回群となる3次方程式について (4)

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2007年08月31日（金曜日）

ガロア群が巡回群となる3次方程式について (4) [ 数学 ]

最後の作業は $2\alpha-1$ の逆数を $\alpha$ の多項式として表すこと。 $\alpha$ は方程式
$f(x)=x^3-x+\frac{1}{3}=0$
の根であるから、これは商体 $\mathbb{Q}[x]/(f)$ における $2x-1$ の逆元を求めることと同じ。さらに言い換えると、多項式環 $\mathbb{Q}[x]$ において、合同式 $(2x-1)P(x)\equiv 1\ ({\rm mod}\, f)$ を満たす多項式 $P(x)$ を求めることと同じ。さらにさらに言い換えると、多項式環 $\mathbb{Q}[x]$ において
$(2x-1)P(x)-f(x)Q(x)=1$
を満たす $P(x)$ , $Q(x)$ を(どれか一つで良いから)求めることと同じ。ちょっとくどくなったが、これで(多項式環における)不定方程式の話になった。

これを解くには整数の不定方程式の場合と同じく、ユークリッドのアルゴリズム(いわゆる互除法)を用いればよい。この場合は $2x-1$ が1次式であるから、 $f(x)$ を $2x-1$ で1回割ればよい。結果は次の通り。
$f(x)=\frac{1}{8}(2x-1)(4x^2+2x-3)-\frac{1}{24}$
これに $x=\alpha$ を代入すれば、 $f(\alpha)=0$ であるから、
$\frac{1}{2\alpha-1}=12\alpha^2+6\alpha-9$
以上で $2\alpha-1$ の逆数を $\alpha$ の多項式で表すことができた。これから、
$\frac{\alpha}{2\alpha-1}=12\alpha^3+6\alpha^2-9\alpha=12\left(\alpha-\frac{1}{3}\right)+6\alpha^2-9\alpha=6\alpha^2+3\alpha-4$
となる。

投稿者 sukarabe : 2007年08月31日 21:34

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