[Σ]Sukarabe's Easy Living: eに関連した連分数

2006年01月17日（火曜日）

eに関連した連分数 [ 数学 ]

先日書いた $e$ の連分数展開に関連して、少しだけ。

$e$ の連分数展開は、周期性はないものの3つ毎にパターンがあった。そのため、第 $n$ 近似分数( $n$ -th convergent)を3つ毎にピックアップした数列が単純な漸化式を満たし、それが本質的には $T_{n}=\int_0^1 \frac{t^n(t-1)^n}{n!}e^t\,dt$ と一致している、というのが証明の粗筋であった。

してみると、 $T_n$ だけでも $e$ の連分数を縮約(？)したものを表せそうじゃないか、と思える。 $T_n$ は $n$ の偶奇によって符号が変わるため、つねに正の値を取る積分
$I_{n}=\int_0^1 \frac{t^n(1-t)^n}{n!}e^t\,dt$
に取り替えて考える。単に、 $t-1$ を $1-t$ にしただけ。これは、次の漸化式を満たす。
$I_n=2(2n+3)I_{n+1}+I_{n+2}$
そこで、両辺を $I_{n+1}$ で割れば、
$\frac{I_n}{I_{n+1}}=2(2n+3)+\frac{1}{ \frac{I_{n+1}}{I_{n+2}} }$
となる。あとは、これを繰り返せば、連分数の出来上がりというわけ。

$I_0=e-1$ , $I_1=3-e$ なので、最終結果は次となる。
$\frac{e-1}{3-e}=6+\frac{1}{ 10+\frac{1}{ 14+\frac{1}{ 18+\frac{1}{ \ddots} } } }$
連分数の形は、等差数列となり美しいが、値の方はイマイチかあ〜(苦笑)。残念！？