$p$が素数で$1\leq r \leq p-1$のとき，二項係数${}_p{\rm C}_r$は$p$で割り切れる。
これは有名な事実で，証明も難しくない。そうではあるが，二項定理を利用するステキな証明を教わったので，メモ。
二項定理から
\[ (1+x)^p = 1+\sum_{r=1}^{p-1}{}_{p}{\rm C}_{r}x^r+x^p \]
微分すると
\[ p(1+x)^{p-1} = \sum_{r=1}^{p-1} r{}_{p}{\rm C}_{r}x^{r-1}+px^{p-1} \]
左辺の係数はすべて$p$の倍数なので，右辺もそう。つまり，$r{}_{p}{\rm C}_{r}$ は$p$の倍数。$r$は$p$と互いに素なので ${}_{p}{\rm C}_{r}$ は$p$の倍数である。
結局のところ，$r{}_{p}{\rm C}_{r}=p{}_{p-1}{\rm C}_{r-1}$ の別証明になっている。
今日は自宅でのんびり。オルガンの椅子は本の置き場と化しているのだが、本をどけて、久し振りにあれこれ弾いてみる。完成品はどれ一つとしてないが。ストレス解消になって良いのだが、弾いていると、おおお〜右足の裏が〜 😯 。エクスプレッション・ペダル上で右足裏(土踏まずの内側)がつってしまった。ひえ〜 😯 。
しばらく休んでまた弾いてみるのだが、またまたつりそうになってしまう。ううむ、これは何としたことか。それにしても、ふくらはぎがつったことはあるのだが、足裏とは。足裏がつるってあるんですねえ。トホホ。
何だかんだで、先週は休日がすべて会議で埋まったため、休み無し。その前の週も、会議の連続。ということで、ホントにホントに久し振りの休日。でも、今日明日休んだあとは、またまた仕事の連続。金曜日のライブ(塚山エリコさん、今回はヴォーカルを迎えてボサノバもありだって 
)だけが唯一の楽しみなんだけど、それとて翌日朝一から仕事なので、いつものように遅くまでは無理だし〜 😥 。
とにかく、今日は休みだ。どうしようかなあ、映画でも見に行きますか？
[ 昨日の記録 ] 昨日の土曜日は昼から麹町でとある会議。O先生にホントに久しぶりにお目にかかる。相変わらず気さくな感じなのであるが、とっても偉い先生なのである。実はワタシの元指導教官だったりする(汗)。N先生曰く、O先生偉くなっちゃったからなあ。
まあ、それはともかく、けっこう長丁場の会議でかなり疲れた。で、6時ごろから市ヶ谷方面に移動して懇親会という名の飲み会。山猿という日本酒を初めて飲んだ。山口の酒らしいが、これがなかなか美味しいのである。また飲みたいなあ。
sukarabe