2010

素数が無数にあることの証明

sukarabe 2010年6月4日 (金) 2 コメント

たまたま読んでいたものに書いてあった証明。これは知らなかった。ユークリッドの証明もエレガントだが、これもなかなかだと思う。

自然数$a$に対して、$a$と$a+1$は互いに素であるから、$a(a+1)$に含まれる素因数の種類は$a$のそれよりも多い。よって、
\[ a_1=2, \quad a_{n+1}=a_n(a_n+1) \]
と定めると、$a_n$には少なくとも$n$種類の素因数をもつ。QED

書いてて思ったのだが、やっぱりユークリッドの方がシンプルか。