たまたま読んでいたものに書いてあった証明。これは知らなかった。ユークリッドの証明もエレガントだが、これもなかなかだと思う。
自然数$a$に対して、$a$と$a+1$は互いに素であるから、$a(a+1)$に含まれる素因数の種類は$a$のそれよりも多い。よって、
\[ a_1=2, \quad a_{n+1}=a_n(a_n+1) \]
と定めると、$a_n$には少なくとも$n$種類の素因数をもつ。QED
書いてて思ったのだが、やっぱりユークリッドの方がシンプルか。
日々の日記です
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たまたま読んでいたものに書いてあった証明。これは知らなかった。ユークリッドの証明もエレガントだが、これもなかなかだと思う。
自然数$a$に対して、$a$と$a+1$は互いに素であるから、$a(a+1)$に含まれる素因数の種類は$a$のそれよりも多い。よって、
\[ a_1=2, \quad a_{n+1}=a_n(a_n+1) \]
と定めると、$a_n$には少なくとも$n$種類の素因数をもつ。QED
書いてて思ったのだが、やっぱりユークリッドの方がシンプルか。
はじめまして．こんにちは．
おおっ，ちょっと面白い証明ですね．ユークリッドの証明や，オイラー積を使った証明を見て，素数無限の証明には，自然数の素因数分解性という一つの原理が絶対的に必要なのだろうという印象を勝手に持っていたのですが，この証明は，また少し趣の違った感じがして面白いと思いました．よければ，証明の出どころを教えて頂けないでしょうか？なんて．
追記：
Algebraic Topology (William Fulton)の書評を検索していて，こちらのサイトに寄らせていただいたのですが，なんというか，数学愛のある書評が書いてあって，不思議と嬉しくなりました．知らない数学の本の書評を読むと，夢が広がるといっては大げさですが，そういうような感じを受けて楽しくなります．これからも，いろいろな本の書評をどんどん公開して頂きたいものだなあと勝手に願っています．
ambiguitas さん，はじめまして。
証明の出典なのですが，何の本で読んだのか，記憶がまったくないのです(^^;; 普通，ちょっとは記憶残っていると思うのですが。すみません。なさけないっす。
ワタシのは書評などという立派なものではなく，その時々の感想などを深く考えずに適当に書き散らしているだけなのですが，このように言っていただくと嬉しいです。