大晦日に何をやっているんだ(苦笑)、ということだが、ふと思いついたので忘れないうちにメモ。いやなに、簡単な話なんだが。
変数の個数は幾つでもいいのだが、簡単の為に3個とする。$x$, $y$, $z$ は正の整数とし、$x+y+z=n$ を満たすとする。$n$も正の整数。このような組$(x,y,z)$の個数を求めたい。普通は次のようにすると思う。
例えば、$(x,y,z)=(2,3,4)$ならば、これを
○○｜○○○｜○○○○
と対応させる。よって、○印を一列に$n$個並べておいて、$(n-1)$個の隙間から2個区切り場所を選べばよい。従って、求める個数は $_{n-1}\mathrm{C}_2$ となる。
これと本質的には同じだと思うが、次のような表現もあるなあ、と思った。$a=x$, $b=x+y$, $c=x+y+z$とおけば，条件は\[ 1\leq a < b < c = n \]となる。$(x,y,z)$と$(a,b,c)$は1対1に対応するから、$1$から$(n-1)$までの$(n-1)$個の整数から $a$ と $b$ という異なる2個を選べばよい。 この方法を用いると、条件が不等式 $x+y+z\leq n$ になっても全く同様に解ける。 \[ 1 \leq a < b < c \leq n \] となるから、$1$から$n$までの$n$個から3個の異なる整数 $a$, $b$, $c$ を選べばよい。 書きながら、あれ？これって、以前にも考えたことがあるような気が。うーん、まったく同じではないにしても、ほとんど似た話みたいなものは、他にもあったようにも思う。まあ、いいや。