とある積分計算。$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx$ を求めることに。分子を$\cos^2 x=1-\sin^2 x$と変形すれば，$I_n=\int \sin^n x\,dx$ に帰着できそうである。
$I_n$が満たす漸化式
\[ nI_n=(n-1)I_{n-2}-\sin^{n-1}x\cos x \]
は$n$が負の整数でも成り立つので，これを使えば，$I_{-4}$は
\[ I_{-2}=\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\frac{\cos x}{\sin x} \]
に帰着されるから，
\begin{align*}
\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx
&= I_{-4}-I_{-2} \\
&= \frac13\left( 2I_{-2}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right)-I_{-2} \\
&= \frac13\left( -I_{-2}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right) \\
&= \frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right) \\
&= -\frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^3
\end{align*}
となる。
念のため，Wolfram Alpha でチェックしてみた。なんと，$u=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ と変数変換して，
\begin{align*}
\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx
&= \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{\sin^2 x}\,dx \\
&= \int u^2 \,(-du) \\
&= -\frac13 u^3 \\
&= -\frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^3
\end{align*}
と計算していた。ええ，そうです。この方がずっと簡単です。負けました。というか，もうね，積分計算とか機械の仕事だからさ 😉 。あーあ。