たまに夢で数学することがあるが，朝起きてみるとたいてい間違っている。というか，そもそも数学になっていなかったりする。しかし，今朝のは違った。簡単な話なんだけど。
$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^4 x}\,dx$ を計算するために，
\[ \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x \]
と変形する。すると，$u=\tan x$ という変数変換で，
\begin{align*}
\int \frac{1}{\cos^4 x}\,dx
&= \int \left(1+\tan^2 x \right) \frac{1}{\cos^2 x}\,dx \\
&= \int (1+u^2)\,du \\
&= u+\frac{1}{3}u^3 \\
&= \tan x+\frac{1}{3} \tan^3 x
\end{align*}
となるという話。まったく同様にして，$u=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ とおけば，
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sin^4 x}\,dx
&= \int \left(1+\cot^2 x \right) \frac{1}{\sin^2 x}\,dx \\
&= \int (1+u^2)\,(-du) \\
&= -u-\frac{1}{3}u^3 \\
&= -\cot x-\frac{1}{3} \cot^3 x
\end{align*}
となる。
こんな計算，昔やったような気もするが，最近記憶力ないので。