新幹線車内で、いろんな本というかPDFをパラパラと眺めていたのだが、運の悪いことに、数学の問題集みたいなものを開いてしまった。内容からして、数学オリンピックの準備とかそんな感じの本。Diophantus Equations とあったから、てっきりモーデルの本みたいなものだと思ったのだが、ちと違った。
で、問題が並んでいるのだが、\[ x^3-y^3=xy+61 \]を満たす自然数$x$, $y$を求めよ、というのがあった。\[ x^3-y^3-xy=61 \]と変形しても左辺は因数分解できないから、別の方法を考える必要がある。さて・・・。
左辺は立方数の差であるから、あるところから先はかなり大きくなるだろう。すくなくとも$x$の2乗のオーダーのはず。だって、$x^3-(x-1)^3=3x^2-3x+1$だから。ということは、不等式を利用すれば何とかなるタイプかもしれない。
とか、２、３分考える。以下のようにすればとりあえず解けると思う。$x>y$は自明。そこで、\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) \geqq x^2+xy+y^2 \] に注意する。すると、\begin{gather*} x^2+xy+y^2 \leqq x^3-y^2 = xy+61 \\ x^2+y^2 \leqq 61 \end{gather*} となるから、あとは有限個のチェックになる。
例えば \[ 2y^2 < x^2+y^2 \leqq 61 \] だから、$y$は$5$以下と分かる。 ［追記］(8/27) 因数分解の公式 \[ a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \] を利用した解法もある。$a=x$, $b=-y$, $c=-\frac{1}{3}$ とおけば、積イコール定数の形に変形できる。ちょっと気付きにくいが。