［自分用のメモ］
火曜日の朝，シャワー浴びながらぼんやり考えていて思いついた。
座標平面で，2点$P(a,b)$, $Q(c,d)$を通る直線に原点から下ろした垂線$OH$の長さ$h$を求めること。
普通に直線の方程式を求めて，例の公式に代入してもよいが，三角形$OPQ$の面積$S$を2通りに計算することにより，以下のように求められる。
\begin{gather*}
S= \frac{1}{2}PQ\cdot h = \frac{1}{2} \vert ad-bc\vert \\
\therefore\quad h=\frac{\vert ad-bc\vert}{\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}}
\end{gather*}
簡単のために原点から下ろした垂線の長さにしたが，もちろん，任意の点から下ろした垂線でも同様である。
まあ，直線の方程式を求めなくてよい，という点がちょっとした利点だろうか。応用として，3次元空間で，直線に点から下ろした垂線の長さも同様にして求めることもできる。