簡単な例で実験。$A=\mathbb{Z}$を有理整数環，その素イデアルとして，
\[ \mathfrak{p} = (2) = 2\mathbb{Z} \]
を取る。
$S=A-\mathfrak{p}$は乗法に関して閉じているから，局所化$S^{-1}A$を考えることができる。
これは，素点$\mathfrak{p}$における局所環と呼ばれ，慣例に従って$A_{\mathfrak{p}}$と書かれる。
$S$は具体的には奇数全体からなる部分集合なので，この場合，
\[ A_{\mathfrak{p}} = \left\lbrace \frac{a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
となる。
$B=A_{\mathfrak{p}}$とおいて，$B$のイデアル$\mathfrak{a}$を考える。もし，$\frac{a}{b}$ ($a$も$b$も奇数) なる元を$\mathfrak{a}$が含めば，$\frac{b}{a} \in B$であるから，$1=\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b} \in \mathfrak{a}$となり，$\mathfrak{a}=B$になってしまう。よって，真のイデアル$\mathfrak{a}$に含まれる元$\frac{a}{b}$は，$a$が偶数，$b$が奇数の形に限る。そこで，このような$\frac{a}{b}$のうち，分子の$a$に含まれる素数$2$の個数の最小値を$n$とすれば，
\[ \mathfrak{a} = (2^{n}) = 2^{n}B = \left\lbrace \frac{2^{n}a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
これから，次が分かる。$B$はただ1つの極大イデアル
\[ \mathfrak{m} = (2) = 2B = \left\lbrace \frac{2a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
を持ち，その他のイデアル$\mathfrak{a}$は$\mathfrak{a}=\mathfrak{m}^{n}$と表される。
以上，おそらくは一番簡単な局所環の例。手持ちの教科書ではここまで簡単な例は載っていない(多分)。非常に単純だが，2以外の素数がつぶれてしまう様子が良く分かり，局所環という名称がふさわしいことが理解できる。