何故か代数的数論を勉強したいという気になって，あれこれ資料を収集中。少し前に2次形式の数論(2次体ではなくて)にはまっていた時期があるのだが，その延長というのとはちょっと違う。きっかけが思い出せないのだが，やはり根底には，Coxの Primes of the form $x^2+ny^2$ をきちんと読みたいというのがあったと思う。
代数的数論の教科書というのは日本語でも幾つかあるのだが，基礎的部分はけっこう退屈で，それなりの動機がないと，読み通すのはけっこう苦痛だったりする。とりあえず，本棚にある高木貞治，藤崎源二郎，石田信，あたりを読もうとするのだが，それぞれに難しい。他にないかと，英語の本とかを探すのだが，こちらもいろいろとあって，というかありすぎて，悩ましいのである。Neukirch, Fröhlich-Taylor, Samuel, Ribenboim, あたりを行ったり来たりしている。
$x$が代数的整数であるとは，$x$がモニックで整数係数の代数方程式
\[ x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}=0 \]
の根になること。
この定義だと，代数的整数の和が代数的整数になることすら自明ではないが，代数的整数になるための条件を「線型化」することができて，それを用いれば，簡単に証明される。ポイントとなるのは，次の命題。
$x$が代数的整数であることは，$xM\subset M$なる有限生成$\mathbb{Z}$-加群$M$が存在することと同値である。
一見すると意味がよく分からない命題であるのだが，これが非常に強力であることが，段々と分かってくる。命題の証明は次のようになる。$M$の生成元を$y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$とすれば，
\[ xy_{i} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} y_j \]
となるが，これは$x$が行列 $A=(a_{ij})$ の固有値であることを意味している。よって，固有方程式
\[ \det (xI-A)=0 \]
が成り立つが，これを展開すれば，モニックの$n$次方程式になる。
この命題を利用すると，代数的数の全体が環をなすことが簡単に証明される。一見すると大したことのないように見える命題なのだが，実のところ非常に強力なのである。単に代数的整数の定義の段階でも，加群という抽象代数の概念が大いに役立っているというのが，意外であった。