カテゴリー: 代数的数論

簡単な例で実験。$A=\mathbb{Z}$を有理整数環，その素イデアルとして，
\[ \mathfrak{p} = (2) = 2\mathbb{Z} \]
を取る。
$S=A-\mathfrak{p}$は乗法に関して閉じているから，局所化$S^{-1}A$を考えることができる。
これは，素点$\mathfrak{p}$における局所環と呼ばれ，慣例に従って$A_{\mathfrak{p}}$と書かれる。
$S$は具体的には奇数全体からなる部分集合なので，この場合，
\[ A_{\mathfrak{p}} = \left\lbrace \frac{a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
となる。
$B=A_{\mathfrak{p}}$とおいて，$B$のイデアル$\mathfrak{a}$を考える。もし，$\frac{a}{b}$ ($a$も$b$も奇数) なる元を$\mathfrak{a}$が含めば，$\frac{b}{a} \in B$であるから，$1=\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b} \in \mathfrak{a}$となり，$\mathfrak{a}=B$になってしまう。よって，真のイデアル$\mathfrak{a}$に含まれる元$\frac{a}{b}$は，$a$が偶数，$b$が奇数の形に限る。そこで，このような$\frac{a}{b}$のうち，分子の$a$に含まれる素数$2$の個数の最小値を$n$とすれば，
\[ \mathfrak{a} = (2^{n}) = 2^{n}B = \left\lbrace \frac{2^{n}a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
これから，次が分かる。$B$はただ1つの極大イデアル
\[ \mathfrak{m} = (2) = 2B = \left\lbrace \frac{2a}{b} \Bigm\vert \text{$a$は整数}, \text{$b$は奇数} \right\rbrace \]
を持ち，その他のイデアル$\mathfrak{a}$は$\mathfrak{a}=\mathfrak{m}^{n}$と表される。

以上，おそらくは一番簡単な局所環の例。手持ちの教科書ではここまで簡単な例は載っていない(多分)。非常に単純だが，2以外の素数がつぶれてしまう様子が良く分かり，局所環という名称がふさわしいことが理解できる。

何故か代数的数論を勉強したいという気になって，あれこれ資料を収集中。少し前に2次形式の数論(2次体ではなくて)にはまっていた時期があるのだが，その延長というのとはちょっと違う。きっかけが思い出せないのだが，やはり根底には，Coxの Primes of the form $x^2+ny^2$ をきちんと読みたいというのがあったと思う。

代数的数論の教科書というのは日本語でも幾つかあるのだが，基礎的部分はけっこう退屈で，それなりの動機がないと，読み通すのはけっこう苦痛だったりする。とりあえず，本棚にある高木貞治，藤崎源二郎，石田信，あたりを読もうとするのだが，それぞれに難しい。他にないかと，英語の本とかを探すのだが，こちらもいろいろとあって，というかありすぎて，悩ましいのである。Neukirch, Fröhlich-Taylor, Samuel, Ribenboim, あたりを行ったり来たりしている。

$x$が代数的整数であるとは，$x$がモニックで整数係数の代数方程式
\[ x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}=0 \]
の根になること。
この定義だと，代数的整数の和が代数的整数になることすら自明ではないが，代数的整数になるための条件を「線型化」することができて，それを用いれば，簡単に証明される。ポイントとなるのは，次の命題。

$x$が代数的整数であることは，$xM\subset M$なる有限生成$\mathbb{Z}$-加群$M$が存在することと同値である。

一見すると意味がよく分からない命題であるのだが，これが非常に強力であることが，段々と分かってくる。命題の証明は次のようになる。$M$の生成元を$y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$とすれば，
\[ xy_{i} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} y_j \]
となるが，これは$x$が行列 $A=(a_{ij})$ の固有値であることを意味している。よって，固有方程式
\[ \det (xI-A)=0 \]
が成り立つが，これを展開すれば，モニックの$n$次方程式になる。

この命題を利用すると，代数的数の全体が環をなすことが簡単に証明される。一見すると大したことのないように見える命題なのだが，実のところ非常に強力なのである。単に代数的整数の定義の段階でも，加群という抽象代数の概念が大いに役立っているというのが，意外であった。

万年筆を買った。パイロットのカスタム・ヘリテイジ92というもの。プラスティックで透明なので，見た目は安っぽいが，定価は15000円(＋消費税)する。普通の万年筆よりは安いが。

気に入ったのは，ペンが14Kであることと，インクの補給がスクリュー式の吸入方式であることの2点。透明プラスティックの安価な万年筆の多くは，値段の問題だろうが，ペンは鉄製(あるいは合金)で，書き味が今ひとつだ。また，日本の万年筆のほとんどはカートリッジ・インクを使うようになっていて，ボトル・インクを使うには，専用のコンバーターを使う必要があるのだが，これが容量が小さくて不便なのだ。この2つをクリアーしてくれれば，見てくれはどうでもよい，いや，むしろ，余計な装飾に金をかけてくれないほうが，ありがたい。

ついでに，インクも購入した。同じくパイロットのもので，「天色(ama-iro)」というインク。少し前に，同じシリーズの「山葡萄(yama-budo)」というボルドーに似た色のインクを買って，かなり気に入っているのだが，今度は青系にしてみた。ターコイズ・ブルーに近い感じだろうか。試しに，代数的整数の定義のあたりをちょっと書いてみた。なかなか良い感じだ。