以下，全くの個人的メモ。
Gaussの円周等分論にあるのだが，一見すると関係なさそうな不思議なものが，Cyclotomic numbers (円分数とでも訳すのか？)なるもの。初等的議論で，Cyclotomic numbers についての性質が示せることが分かったので，メモ。簡単のため，$p=4l+3$の場合についてのみ。
$p$を素数として，modulo $p$での平方剰余を$R$で表し，平方非剰余を$N$で表す。$1\leqq a \leqq p-2$なる$a$に対して，$a\in R$, $a+1\in R$なる$a$の個数を$(RR)$と書く。同様に，$a\in N$, $a+1\in R$なる$a$の個数を$(NR)$と書く。$(RN)$, $(NN)$も同様に定義する。これらの数を求めるのが目標。
$p=4l+3$のときには，$(RR)=(NN)=(NR)$が成り立つ。これが鍵となる。まず，$a\in R$, $a+1\in R$とする。$p=4l+3$のときは，$-1$が非剰余だから，$-a\in N$, $-a-1\in R$となる。対応$a \longleftrightarrow -a-1$によって，$(RR)=(NN)$となる。
$(NR)=(NN)$の証明には，$a$のmodulo $p$での逆元$b$，つまり，$ab\equiv 1 \pmod{p}$なる$b$を用いる。$a\in N$, $a+1\in R$とする。このとき，$b\in N$であり，また，
\[ 1+b=ab+b=(a+1)b \in N \]
であるから，$b\in N$, $b+1\in N$となる。故に，対応 $a\longleftrightarrow b$によって，$(NR)=(NN)$が成り立つ。
あとは簡単。$a\in R$のとき，$a+1$は$R$, $N$のいずれかだから，
\[ (RR)+(RN)=\frac{p-1}{2} \]
が成り立つし，定義から，
\[ (RR)+(RN)+(NR)+(NN)=p-2 \]
は明らか。以上から，
\[ (RR)=(NN)=(NR)=\frac{p-3}{4}, \quad (RN)=\frac{p+1}{4} \]
が得られる。