今朝，ふと思いついて計算してみたら，あまりにも簡単にできて，驚いた。
$n$を任意の正の整数とするとき，$x>0$において不等式
\[ e^x>1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \]
が成り立つことはよく知られている。$e^x$のテイラー展開から自然に導かれるのであるが，それを使わずに直接に証明しようとすると，微分を何回もすることになり(帰納法との併用)，けっこう手間がかかるのである。
ところである。両辺の対数をとった不等式
\[ x>\log\biggl(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\biggr) \]
を考えると，あら不思議。微分一回だけで簡単に証明できるのである。
\[ f_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \]
とおけば，
\[ f_n'(x)=f_{n-1}(x), \qquad f_{n}(x)=f_{n-1}(x)+\frac{x^n}{n!} \]
が成り立つから，
\[ g(x)=x-\log f_n(x) \]
を微分すると，
\[ g'(x)=1-\frac{f_n'(x)}{f_n(x)}=1-\frac{f_{n-1}(x)}{f_n(x)}=\frac{x^n}{n!\,f_n(x)} \]
となる。これから$g(x)$は$x\geqq 0$において単調増加であることが分かるから，$x>0$において$g(x)>0$であることが言える。