もう頭も悪くなって久しいが，腐りかけの脳細胞でも，たまには良いことを思いつくってことでメモ。
チェビシェフの多項式$T_n(x)$について，$x>1$のとき$T_n(x)>1$を示せ，というのが問題。$-1\leqq x\leqq 1$で増減しまくってるんだから，$x>1$ではもう単調増加しかないよなあ・・・と漠然と考えていると，その方向での証明を思いついた。
$T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$を$\theta$で微分すると，Chain Ruleによって，
\begin{gather*}
T_n'(\cos\theta) (-\sin\theta) = -n\sin n\theta \\
T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta}{\sin\theta}
\end{gather*}
よって，$T_n'(x)=0$ は $(n-1)$個の根 $x=\cos\frac{k\pi}{n}$ ($k=1$, $2$, $\cdots$, $n-1$) を持つが，$T_n'(x)$は$(n-1)$次式だから，これが根のすべてである。
従って，
\[ T_n'(x)=n2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \left(x-\cos\frac{k\pi}{n}\right) \]
と因数分解される。これから，$x\geqq 1$において $T_n'(x)>0$ となること，すなわち，$T_n(x)$が単調増加になることは明らかである。$T_n(1)=1$であるから，$x>1$のとき，$T_n(x)>T_n(1)=1$ である。QED