$p$進数($p$進法ではなく、有理数を$p$進距離で完備化したもの)が現在の数論では重要らしいとは聞いていたが、これは正に$p$進解析というか、解析的数論の$p$進版であるな、と、ボレビッチ・シャファレビッチ「整数論」の下巻を眺めながら思った。Thue(トゥーエ)の定理のSkolemによる証明の概要を、$x^3+dy^3=c$ を例にして説明してあるのだが、この不定方程式が有限個の解しかもたないことを示すためにSkolemが用いた方法が素晴らしい。
$p$進体の中で方程式を考えるのは、まあ普通(？)だ。$\sqrt[3]{d}$を添加した3次体を$p$進数に埋め込むまでは分かる。その方程式を$p$進数の世界での解析関数とみなすのだという。$p$進数体はコンパクトであるから、もし無限個の解を持てば、零点が集積点を持つことになるから、くだんの解析関数は恒等的にゼロでなければならない。ひょえ〜、てなもんである。これは面白そうだ。