知ってるつもりでも、知らないことはいろいろあるなあ。
ディリクレ・デデキントの整数論講義を読んでいたら、ガウスの複素整数($a$, $b$を整数とするとき、$a+b\sqrt{-1}$と表される複素数のこと)を使って4n+1型の素数$p$が$p=a^2+b^2$と書けることのステキな証明が載っていた。普通は、平方剰余の第1補充則から、$a^2\equiv -1\ {\rm mod }p$を満たす有理整数$a$の存在を言って、これを用いて、$p$は$a^2+1$の約数で、・・・などとやるのだが、平方剰余の理論によらずとも、複素整数の一般論から次のように示されるのだという。
$p=4n+1$が複素整数の範囲でも素数になると仮定する。すると、方程式$x^{p-1}\equiv 1\ {\rm mod }p$ は高々$(p-1)$個の解しかもたないはず。これは mod $p$で割った剰余環が体になることからでる。さて、フェルマーの定理から、$1$, $2$, ・・・, $p-1$ は解である。おまけに、$p-1=4n$なので$x=\sqrt{-1}$までもが解。つまり、$p$個の解を持つことになってしまう。これは矛盾である。ということで、$p$は複素整数の範囲では素数ではない。そうすると、一般論により、$p=\pi \overline{\pi}$ と書けることが分かっているので、$p=a^2+b^2$と表されることになる。
いやあ、何とまあ、スマートな証明であることか。抽象代数学の勝利 
って感じでしょうか。