もちろん聖典でありまするから、高瀬さんの翻訳が出たときは、小躍りして買ったのです。しかし、ちゃんと読んだかというと、恥ずかしながら未だ通読できず、というか、例の2次形式の合成のところなど、ガウス本人のオリジナルの方法はさすがに大変なので、後世の改良版とかで読むわけですよ、やっぱり。そういうわけなので、ガウスの本で勉強するというよりは、最近の本で勉強し、たまにガウスを眺めるというような有様になってしまっています。
ところが、先日、ディリクレ・デデキントの本と間違えて鞄に入れてしまい(笑)、仕方なく(苦笑)読んでたわけですよ、電車の中とかで。そうすると、新たな発見がありまして、いやあ、やはり原典は読まなきゃなあと改めて思ったわけですね。
第5章から2次形式に入るのですが、もうとっぱじめから、2次形式で表される数と平方剰余の関係が書かれているのですね。ガウスにおいては、最初からそういう視点で議論されているのかあ、と。
しかし、その証明というか、使われる恒等式はなかなか高級です。例えば、2次形式
\[ 2x^2+2xy+3y^2 \]
で表される数を考えます。もし、ある整数 $p$ が原始的に、つまり互いに素な$x$, $y$で表されるとすれば、
\[ nx-my=1 \]
なる$m$, $n$が取れるのですが、そのとき、恒等式
\begin{align*}
&(2x^2+2xy+3y^2)(2m^2+2mn+3n^2)\\
&=(2xm+xn+ym+3yn)^2+5(xn-ym)^2
\end{align*}
を用いると、
\[ p(2m^2+2mn+3n^2)=(2xm+xn+ym+3yn)^2+5 \]
となり、$-5$がモジュロ $p$ で平方剰余になるのです。理解するのは難しくないですが、この恒等式って、正に2次形式の合成ではないですか 😯 。
ふと、そう言えば Cox の本 (Primes of the Form $x^2+Ny^2$) に書いてあったなあと引っ張りだしてみると、ラグランジュがすでに上の恒等式を使っています。なるほど、なるほど。少し分かってきたような気がします。頑張って読んでみましょう 
。