学生のとき、代数の初歩は一通り授業その他で学習したわけで、ガロア理論や可換環論の入門部分は漠然とではあるが知っている。当時、代数的数論の入門書もいくつか読もうと思ったのだが、何だかつまらなくて止めてしまった。今にして思えば、一般論ばかりが続き、一体どこが数論なのかと、つまらなくなったんだなあと得心が行く。特に日本の本に多いのであるが、歴史的発展の話や何のためにそういうことをするのかといった説明がなく、ひたすら一般論が続くという入門書が、当時は少なくなかった。２次形式の話、例えば、4で割ると１余る素数$p$が$p=x^2+y^2$と表されるというフェルマーの定理や、それを一般化した$x^2+Ny^2$の形で表される素数の話、こういった問題の為に、ラグランジュやガウスが２次形式の数論を研究したこと、それがあまりに大変であるため、ディリクレやデデキントによって簡易化が試みられたこと、とくにデデキントが導入したイデアル論が２次形式論、特に合成の理論、種の理論を著しく簡易化したこと、こういった事柄は何故か書かれていなかった。なんだかなあ、と今にして思うのであった。
ということで、あらためて、デデキントのイデアル論を勉強しよう。その後に発展したエミー・ネーター流の公理的可換環論ではなく、２次体という具体的な場合で。理論だけでなく、実例の計算もたくさんしよう。
(1)θ=Sqrt[5] + Sqrt[7]のとき
Sqrt[7]=(13*θ)/2 – θ^3/4 を示せ。
(2)θ=Sqrt[2] + Sqrt[5] + Sqrt[7]のとき、
Sqrt[7]を(1)のような表示をせよ。という問があり、
(1)は 確かに右辺にSqrt[5]+Sqrt[7]を代入するとSqrt[7]になりますが
どのようにして導かれたのでしょうか。
(2)もお願い致します。