数学

2次形式メモ(3)

sukarabe 2009年1月16日 (金) コメントはまだありません

2次形式の数論、少しだけ前進。判別式が同じ2次形式を正式同値によって類別して「類」(Class)を作り、さらにいくつかの類をまとめて「種」(Genus)を考える話。判別式を割り切る素因数をモジュラスとしての値を考えるのだが、素数2が例外的に難しい。どうしてそういう場合分けをするのか、なかなか納得できずにいろんな本を読む。最初からガウスを読めば良かったかどうかは微妙だが、ガウスを読んで納得できた。

ガウスについては、完全主義で足場を残さない為に、読者は苦労するようなことがよく言われる。しかし、この件についてはまったく違う。創始者ならではのモーティベーションが書かれていて、今風の教科書で疑問に思っていたことがバッチリ書いてあるのだ。

ガウスは中央の係数が偶数の形式$F=ax^2+2bxy+cy^2$を扱っていて、判別式の4分の1 $D=b^2-ac$ を determinant と呼んでいる。従ってつねに4倍の違いが生じるが、それはこの場合は大したことではない。以下、第229条から引用。

さらに、もし当面の目的のために必要であるとするなら、$F$によって表現可能な数は、$D$を割り切らない素数に対してはこのような一定の関係はもちえないこと、それどころかむしろ、$D$を割り切らない任意の素数については、その剰余も非剰余もどちらも形式$F$で表現されることを証明するのは容易である。
だがこれとは反対に、数4と8に関しては、他の場合にも [ すなわち4と8が$D$を割り切らない場合にも ] ある種の類似が成立する。これは看過するわけにはいかない。　(ガウス「整数論」第229条から)

このあと、$D$が2で何回割れるかで場合分けしていき、$F$で表される数が modulo $2^m$ でどうなるか調べていく。これは読むよりも自分であれこれ実験してみる方が楽しいし、どこがポイントなのかがよく分かる。modulo 8 で分類することになるのだが、modulo 8 での既約剰余類の成す群が出てくる。分類はこの群の商群に対応する形をとる。抽象的な代数の初歩を学んだ者にとっては、具体的事例で群論の初歩との関係が分かり楽しい。別の教科書だが、Daniel Flathの本に書いてあった「準同型(homomorphism)のような関係になっている」という意味も、良く理解できる。というか、やっと Flath の本の定義が理解できましたよ。

ということで、やっと一つ山を越えた感じ。

2次形式メモ(2)

sukarabe 2009年1月12日 (月) コメントはまだありません

ガウスの「種の理論」(Genus Theory) への動機付け。

判別式$D=b^2-4ac=-15$の2次形式
\[ (a,b,c)=ax^2+bxy+cy^2 \]
により素数$p$が表されるか否か、という問題を考える。

この場合、簡約形式 (reduced form) は
\[ (1,1,4)=x^2+xy+4y^2, \quad (2,1,2)=2x^2+xy+2y^2 \]
の2つ。判別式 $-15$ のどの形式もこの2つのいずれか一方と正式同値になる。
(つまり、$SL(2,\mathbb{Z})$ で互いに移り合う。)
この2つは同値じゃないので、狭義の「類数」(Class Number)は2となる。

2次形式の一般論および平方剰余の理論などから、次のことまでは分かる。すなわち、2, 3, 5以外の素数$p$がこの2つのいずれかで表されるための必要十分条件は、2次合同式
\[ x^2 \equiv -15 \quad ({\rm mod } 4p ) \]
が解をもつこと、つまり、
\[ p \equiv 1, 2, 4, 8 \quad ({\rm mod } 15 ) \]
である。
しかし、これでは、$(1,1,4)$と$(2,1,2)$のどちらで表されるのか、あるいは両方で表しうるのか、が分からない。その為には何らかの方法で、2つの形式を「分離」することが必要となる。

そこで、別の切り口から問題を考えてみる。2次形式が表す整数を、いろんな数を法(modulo)として考えるのである。具体的には判別式を割り切る素数を考える。(それ以外の奇素数をモジュロとしても、情報は得られないことが示される。Cahenの393ページあたり。)

modulo 3 で考えてみよう。3の倍数になるものは考えないことにして、これ以外が余り1、2のいずれになるのかを調べてみると、
\[ x^2+xy+4y^2 \equiv -2(x-y)^2 \equiv 1 \quad ({\rm mod } 3) \]
および
\[ 2x^2+xy+2y^2 \equiv 2(x+y)^2 \equiv 2 \quad ({\rm mod } 3) \]
となる。

modulo 5 でも同様の結果になる。5の倍数になるものを考えないことにすれば、
\[ x^2+xy+4y^2 \equiv -(2x-y)^2 \equiv 1, 4 \quad ({\rm mod } 5) \]
\[ 2x^2+xy+2y^2 \equiv 2(x-y)^2 \equiv 2, 3 \quad ({\rm mod } 5) \]
である。

この問題の場合は modulo 3, modulo 5 の片方だけからも分離することができて、
$p\neq 2, 3, 5$ なる素数$p$に対して、
\[ p=x^2+xy+4y^2 \quad \Longleftrightarrow\quad p \equiv 1, 4 \quad ({\rm mod } 15) \]
および、
\[ p=2x^2+xy+2y^2 \quad \Longleftrightarrow\quad p \equiv 2, 8 \quad ({\rm mod } 15) \]
という結論が得られる。

以上を一般化するには、平方剰余の指標(character)と関連づける。modulo 3 で特定の余りになることは、指標 $\left(\frac{n}{3}\right)$ (ルジャンドルの記号、ヤコビの記号) が一定の値になることに対応している。判別式を割り切る奇素数$p_i$に関する指標 $\left(\frac{n}{p_i}\right)$ の値を考え、これらがすべて一致する2次形式の類(class)をまとめて、種(genus)と名付けるのである。
(これ以外に2のベキ乗での分類、つまり、素数2に関する指標もあるが、また別の機会に。)

Cahenの数論教科書

sukarabe 2009年1月9日 (金) 2 コメント

19世紀末〜20世紀初頭の数論教科書をいろいろ探して眺めているのだが、Cahen の Theorie des nombres 第2巻、が好みに合うようだ。フランス語なので今まで敬遠してきたのだが、読まねばなるまい。

第2巻の大部分は2次形式について。種の理論は、具体例で動機を説明したあと一般論に移る。例も豊富で嬉しい。2次形式も一般形、つまり中央の係数が偶数とは限らない形、で書いてあり、これも嬉しい。

あとは錆びついたフランス語の知識で、ぼちぼち読んでいきますかね。錆びついたと言っても、少しは習っていたおかげか、おおまかには読める。一般書はまったく読めないが、やっぱり数学書のフランス語は易しい。

オイラー博士の素敵な数式

sukarabe 2008年12月28日 (日) コメントはまだありません

Dr. Euler’s Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills

息抜きに、気楽に読める本を。翻訳(オイラー博士の素敵な数式)も出ているが、原書の方が字体(タイプフェイス、フォント)やレイアウトがステキ。タイトルの formula は普通は公式と訳すが、ここでは数式と訳してある。もっとも、サブタイトルの Cures Many Mathematical Ills が「多くの数学の疾患を治療する」みたいな意味だから、formula は公式と処方箋を掛けているのだろう。しかし「ドクター・オイラーの素晴らしい処方箋：多くの数学的疾患に効く」とすれば、数式という部分が消えてしまう。うーん、難しいなあ。

知っている内容がほとんどだが、知らないことや、知っていても、へえ、そんな見方もあるのか、といった事もあり、楽しい本。あ、そうそう、円周率が無理数であることの証明は、ジーゲルの超越数の本からそっくりそのまま持ってきているなあ。

ガウスの「整数論」

sukarabe 2008年12月23日 (火) コメントはまだありません

ガウス 整数論 (数学史叢書)

もちろん聖典でありまするから、高瀬さんの翻訳が出たときは、小躍りして買ったのです。しかし、ちゃんと読んだかというと、恥ずかしながら未だ通読できず、というか、例の2次形式の合成のところなど、ガウス本人のオリジナルの方法はさすがに大変なので、後世の改良版とかで読むわけですよ、やっぱり。そういうわけなので、ガウスの本で勉強するというよりは、最近の本で勉強し、たまにガウスを眺めるというような有様になってしまっています。

ところが、先日、ディリクレ・デデキントの本と間違えて鞄に入れてしまい(笑)、仕方なく(苦笑)読んでたわけですよ、電車の中とかで。そうすると、新たな発見がありまして、いやあ、やはり原典は読まなきゃなあと改めて思ったわけですね。

第5章から2次形式に入るのですが、もうとっぱじめから、2次形式で表される数と平方剰余の関係が書かれているのですね。ガウスにおいては、最初からそういう視点で議論されているのかあ、と。

しかし、その証明というか、使われる恒等式はなかなか高級です。例えば、2次形式
\[ 2x^2+2xy+3y^2 \]
で表される数を考えます。もし、ある整数 $p$ が原始的に、つまり互いに素な$x$, $y$で表されるとすれば、
\[ nx-my=1 \]
なる$m$, $n$が取れるのですが、そのとき、恒等式
\begin{align*}
&(2x^2+2xy+3y^2)(2m^2+2mn+3n^2)\\
&=(2xm+xn+ym+3yn)^2+5(xn-ym)^2
\end{align*}
を用いると、
\[ p(2m^2+2mn+3n^2)=(2xm+xn+ym+3yn)^2+5 \]
となり、$-5$がモジュロ $p$ で平方剰余になるのです。理解するのは難しくないですが、この恒等式って、正に2次形式の合成ではないですか 😯 。

ふと、そう言えば Cox の本 (Primes of the Form $x^2+Ny^2$) に書いてあったなあと引っ張りだしてみると、ラグランジュがすでに上の恒等式を使っています。なるほど、なるほど。少し分かってきたような気がします。頑張って読んでみましょう 。

2次形式メモ(1)

sukarabe 2008年12月5日 (金) コメントはまだありません

[ 備忘録 ]

すっかり忘れている、というわけではないが、復習も兼ねてまったくの最初からやり直し中。

整数係数の2次形式$f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$が題材。これを$(a,b,c)$と略記する。最初の目標は平方和で表される素数$p=x^2+y^2$なので、正定値(positive definite)の場合に限定。判別式$D=b^2-4ac$は負となる。これらを整数係数の１次変換
　$x=pX+qY$, 　$y=rX+sY$ 　(ただし $ps-qr=1$)
で変換して行き、互いに移り合うものを「正式に対等(あるいは同値 properly equivalent)」と呼んで同一視する。判別式$D$を固定したとき、同一視されたものをまとめた「類(class)」の個数は有限。これを類数(class number)という。

判別式$D$が負の場合、つまり正定値の場合は、類の代表として
\[ c\geq a>0, \qquad -a \leq b \leq a \]
なる形式が選べる。これを「簡約形式」と呼ぶ。証明はいろいろあるが、ガウスの証明がアルゴリズム的で面白い。与えられた形式に「右から隣接する」形式を次々と作っていく。有限回のステップで上記の簡約形式にたどり着くことが簡単に示される。

簡約形式は互いに対等でないかというと、ほとんどそうだが例外がある。
　$(a,a,c)$と$(a,-a,c)$
　$(a,b,a)$と$(a,-b,a)$
は互いに等値である。この例外を除けば、簡約形式は互いに対等ではない。

Duncan Buell著 Binary Quadratic Forms

sukarabe 2008年12月1日 (月) コメントはまだありません

Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations

Duncan A. Buell

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えー、また2次形式の本を買ってしまいました(汗)。Amazonで一部が立ち読みできるのですよ(なか見！検索)。目次などを見ていて良さそうだったので、ついクリックしちゃいました。着いたのが注文の翌々日、釧路に行く前の日だったので、カバンに入れて旅のお供。空港や機内で暇があると読んでましたが、まずまず期待通りの内容です。

個人的にありがたいのは、2次形式を$ax^2+bxy+cy^2$の形、つまり中央の係数が偶数とは限らない形で扱って、ガウス、ディリクレに倣って初等的に議論してあるところでしょうか。ありそうで存外ないんですよね、このスタイルが。まあ、ガウスとディリクレ読んで内容を理解すれば、自分でできるはずのことではあるのですが。あと、具体例が割と多いのと、アルゴリズム的な側面に比較的力点が置かれているのが良いように思います。実際に動くプログラムが書いてあるともっと良かったんですが。

ということで、この本に期待したことは裏切られてないのですが、全体としての完成度というか何というか、一つの作品として見た場合、ちょっとなあと思う点があちこちに。うまく言えないのですが、ディリクレ、デデキントの本のような碩学の手による作品と比べると、うーむ・・・。まあ、これはこれで役に立つのでいいですかね 。

Paul Bachmannの数論教科書Grundlehren der Neurener Zahlentheorie

sukarabe 2008年11月22日 (土) コメントはまだありません

以前探したときにはなかったと思うが、今日、久しぶりに The Internet Archive で検索したら、Paul Bachmann の数論教科書 Grundlehren der Neurener Zahlentheorie が見つかった。

Internet Archive: Details: Grundlehren der Neurener Zahlentheorie

Bachmannは沢山の教科書を書いていて、初等数論、2次形式・2次体の数論に限っても、何冊かある。内容的に重なる部分もあるが、執筆時期やターゲットに応じて微妙にニュアンスが違っていたりする。この Grundlehren は1907年の出版だが、以前の同種の著作に比べてモダンなスタイルで、現今の教科書に近い。後半ではデデキント(Dedekind)のイデアル論が展開されているが、それに対応して前半の記述が以前のものと変わっている。

まず、$ax+by+cz+\cdots$ の形で表される整数全体の集合を導入している。古典的な1次の不定方程式の理論をイデアルないしモジュールの言葉で翻訳しているに過ぎないが、数体のイデアル論をあとで説明するには、こういう言い換えがあるとスムースに繋がる。次に、2次形式だが、イデアル論との対応が容易なように、$ax^2+bxy+cy^2$ と中央の係数が偶数とは限らない形で扱っている。以前の教科書ではガウス以来の伝統に従って $ax^2+2bxy+cy^2$ の形だった。これだと2次体の主整環だけでは対応できず、その上のモジュール、デデキントの用語でオルドヌング(Ordnung)というものを考える必要があったと思う。

現今の教科書に近いと上で書いたが、逆に考えれば、今の教科書はBachmannを引き継いでいるとも言える。むしろ、最近の本よりも詳しく、ゆったりと理論が展開されている。読者層は今ほど多くないと思うが、これだけのページ数の書籍が出版できたというのは、ある意味豊かな時代だったのだろうか。

心理的障壁

sukarabe 2008年11月14日 (金) 2 コメント

数学は論理的な学問だから、順序立ててやって行けば理解できないことはないはずであった。まあ、行間が埋められるかという技術的側面は別として。しかし、現実的には心理的要因がかなりあると思う。ワタシの場合、それが強すぎるかもしれない。自分の好みが狭すぎるのかあ、我は偏狭なりかも、と思うこともある。

2次形式・2次体の「種の理論」、そういう反省に立てば、とりあえず書いてある通りにやってみるかという気持ちになれたような気がする。さすがに有理同値からスタートする展開(シャファレビッチ・ボレビッチはこれだ)にはついて行けないのだが(うん？やはり偏狭か？)、指標系が一致することと平方類で類別することの同値性はそんなに難しくないようだから、Zagierと藤原松三郎(下巻)でもぼちぼちと読んでみよう。