投稿者: sukarabe

一昨日、昨日と2夜連続で、のだめカンタービレ・ヨーロッパ編(？)を見た。原作との違和感もなく、出演者も相変わらずで良かった。一日目は本当に楽しめたのだが、二日目はコマーシャルの入り方というかタイミングがものすごく悪かったように感じた。何でこんな中途半端な所でコマーシャルなの？と感じること数回。しかも、コマーシャルがとても長い。ドラマは良くできていたと思うので、編集がなあ、と残念だった。CMなしの通しで見てみたいなあ。

レムニスケートの積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ のように，3次式，4次式の平方根を含む積分は，
総称して楕円積分と呼ばれる。
楕円の弧長がこのタイプの積分になることが名前の由来であるが，それ以外に楕円との関係は特にない。
楕円に特有の積分というわけでもないから，実はあまり良くない名称とも言える。
それはともかく，この楕円積分，良く知られた初等関数(有理関数，三角関数，指数関数，対数関数，などなど)では表せない。
これに対して，2次式の平方根を含む積分は初等関数で表すことができる。例えば，
\[ \int_{0}^{x} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\log(x+\sqrt{x^2+1}), \qquad
\int_{0}^{x} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x \]
である。
2番目の積分はレムニスケートの積分と形が似ているが，これが一つのポイントとなる。

さて，レムニスケート積分に関して，
\[ \int_{0}^{r} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\int_{0}^{u} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} \]
のとき
\[ r=\frac{2u\sqrt{1-u^4}}{1+u^4} \]
が成り立つというFagnanoの発見に戻る。
これが倍角公式であることを理解するには，三角関数とのアナロジーを考えると良い。
$\int_{0}^{x} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x$
が正弦関数の逆関数であることから，
\[ a=\int_{0}^{r}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad b=\int_{0}^{u}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \]
とおくと，$r=\sin a$, $u=\sin b$ である。
\[ \int_{0}^{r}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=2\int_{0}^{u}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \]
のときは，$a=2b$ となるから，
\[ r=\sin a=\sin 2b=2\sin b\cos b=2u\sqrt{1-u^2} \]
となる。

以上から，
\[ \int_{0}^{r}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=2\int_{0}^{u}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \]
のときには
\[ r=2u\sqrt{1-u^2} \]
が成り立つが，この事実は正弦関数についての倍角公式と同じ内容であることが分かる。

ドイツ語の数学書を読みたいのだが、ドイツ語ほとんど知らないのである 😕 。
独和辞典は持っているのだが、引くのが億劫。というか、英和ならオンラインの辞書とか多いのに、独和は・・・うーん、あるにはあるみたいだが、ちょっとねえ。

探してみたら、独英辞書ならオンラインで見つかった。例えば、
BEOLINGUS: Dictionary / Wörterbuch (TU Chemnitz)
ちょっと試したが、なかなか使い易そうだ。類似の単語とかも一緒に表示される。

ということで、Die zweiblättrige Riemannschen Fläche mit vier Verzweigungspunkten は The double sheeted Riemann surface with four branch points, つまり「4個の分岐点を持つ2葉のリーマン面」となるのかな？はあ、この調子じゃ道遠しだなあ～ 😳

年末に釧路の親戚からいろいろと送られてきたのだが、その中に、塩うにがあった。秋に行ったときに食べさせてもらったもので、ワタシがえらく喜んだみたいだからと、送ってくれたようだった。ありがたや、ありがたや。

ビン入りの塩ウニもランクがいろいろあると思うが、これはウニ100パーセント、原材料はエゾバフンウニ(礼文島産)・塩、としか書いてない。しかも、塩分を少なくしてあるということで、賞味期限も冷蔵で20日ほど。自分では買わない(買えない？)と思うが、念のためにメモしておこう。
　一夜漬　純粒うに　佐賀孝郎商店

2本セットで貰ったのだが、すでに残りわずかになってしまった。日本酒の友としては最高であるが、多分今日中に終了かな？ 😥

ウニと言えば、釧路の和商市場で売ってる「うにじゃん」(？)だっけか、ウニとコチュジャン(？)が主原料の酒のつまみ。これも好きなのである。この方が値段的にもお手軽なんだけどなあ。

2日に買ったテレビが今朝早く到着。寝室用なのでワタシは用心(？)して小さめを主張したのだが、設置してみると、ううむ、一つ大きいのでも良かったかも・・・ぎゃぼ～ん 😯 。かみさんは一つ大きいサイズをと言っていたのだが、ワタシに譲歩したので、この話をすると、ほら御覧なさい、だから・・・とやり込められそう 😥 。もっとも大きいのが入ると、あれまあこんなに大きかったのかあ、トホホ・・・となりかねないから、これで良かったとも思うが。

居間のテレビのときもそうだったなのだが、実際に設置したときの大きさとか印象とかが、売り場では分からないのがつらい。ヴァーチャル・リアリティっていうのか、そういうことが出来る売り場ってないかな？部屋の間取りと家具を入力すると、家電売り場に3Dで自宅の部屋が再現されて、そこにテレビなどを置くとどうなるのかシミュレーションできるとか便利じゃない？そこまでする人は居ないか(苦笑)。

話は変わるが、テレビも録画装置もほとんど中身はコンピュータなんだが、使い勝手がイマイチである。録画装置とパソコンと繋げて、パソコンから録画予約とか録画した映像を編集したりとか、もっと自由に何故に出来ないのだろうか。技術的には簡単だと思うのだが。もっと言えば、チューナーとデコーダーさえあればパソコンで録画できるはずだから、あんなデカイ図体の機械要らないから、パソコンに繋ぐモジュールみたいな形で供給されれば良いのに。

メモを兼ねて，楕円関数の話を少しずつ。

Jacobi(ヤコビ)によれば，楕円関数の誕生日は1751年12月23日だという。
この日，Euler(オイラー)はベルリン学士院から送られてきたFagnano(ファニャーノ)の論文集を読むのだが，
これに触発されて楕円積分に関するEulerの研究がスタートすることになる。

Fagnanoの研究はレムニスケートの弧長に関するものであった。
レムニスケート
\[ (x^2+y^2)^2=x^2-y^2 \]
の第1象限の部分に点Pをとり，原点OからPまでの弧長を$s$とし，
線分OPの長さを$r$とする。すると，
\[ s=\int_{0}^{r} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} \]
という関係式が成り立つ。
さてFagnanoは1718年に次の事実を発見する。弧OPの長さが弧OQの長さの2倍になるような点Qをとり，線分OQの長さを$u$とする。
弧長が2倍であるということから，
\[ \int_{0}^{r} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\int_{0}^{u} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} \]
となるが，このとき，$r$と$u$の間に，
\[ r=\frac{2u\sqrt{1-u^4}}{1+u^4} \]
なる関係式が成り立つのである。
今の目で見ると，これは楕円関数の倍角公式を与えているのであるが，
当時の人にそれが分かるはずもなく，
Eulerがその重要性に気付くまで特に注目されずにいたようなのであった。

ふと、子供の頃に読んだイギリスの昔話のことが気になって調べてみた。末娘が「肉に塩がなくてはならないように」父親のことを大切に思っていると言って父の怒りを買い、家から追い出されるという話。そう言えばリア王でも似たような設定があったような、とか。

どうやら「藺草(いぐさ)ずきん」あるいは「いぐさのかさ」と訳されているイギリスの古い民話のようだった。Cap O’ Rushes というのが原題。岩波文庫の「イギリス民話集」に収録されていたので改めて読んでみたが、何というか、ベタな展開で思わず笑ってしまった。シンデレラ的要素もあるが、これでは賢い(かしこい)というよりは、むしろ賢しい(さかしい)のではないかと。

原文は
English Fairy Tales – Cap O’ Rushes (by Joseph Jacobs)

で読める。

ワタシとしては家でぼけ〜っとしているのも嫌いじゃないのだが、かみさんが買い物に行くというので、一緒にというかシェルパ(荷物持ちですな、笑)として同行。とりあえず池袋で食事をと思ったが、すごい列にすごすごと退散。有楽町線で銀座1丁目駅へと向かう。1丁目のつばめグリルで食事して、ぶらぶらする間もなく目的地らしきところへ。いやはや、皆さん正月から購買意欲すごいですなあ。と、ワタシはおもむろにiPodを取り出し、オルガンマニア2を聴くのだが。

さて目的も果たしたようだから、帰るのかなと思いきや、池袋ではバーゲンらしきものに参戦。シェルパ1号はさすがに店内に入る気はせず、一人 Robben chan などに浸っているのだが、お店の人に見つかり、苦笑いしながら挨拶。

最後は電気屋さんで寝室用のテレビ＆録画機器を購入。同じ値段で iMac が買えるなあ 😳 と思いつつも。

明けましておめでとうございます。って、何がめでたいのか分かりませんが。まあ、また一年、無事に過ごせたってことが一番ですかね、やっぱり。この歳になると、同年代の知人が結構お亡くなりになったりするので、この日記も、いつ永久更新停止になるやも知れませぬ。くわばらくわばら、ですよ、ホントに。

ということで、何とか新年を迎えましたが、昨年の新年の日記を読んで、ああ、何も進歩してなかったなあ、と溜息しきりなのであります。またぞろ、昨年とほとんど同じになってしまうのもさすがに何なので、抱負はなしにします。というか、仕事はもちろんちゃんとしなくてはなりませんが、仕事って所詮は仕事なんだよなあ、とちょっと曲がり角のお年頃です(笑)。

抱負というわけではないですが、これからの生活は、かみさん、数学、オルガン、チェス、囲碁、酒、こんな感じで行きたいなあと。あ、こんなこと宣言する必要、全く無かったですかね 。

夕方テレビを見ていたら、北海道では年越し蕎麦ならぬ年越し寿司が多いと紹介していた。実は我が家もそうなのである。まあ、かみさんちの習慣を引き継いだってことなのかな。ワタシの実家はどうだったかなと記憶を手繰ると、子供の頃は、すき焼きだったように思う。何故かすき焼き。そして、正月は近所の魚屋さんが鰤を届けてくれたっけか。まあ、地方により、またそこんちにより、こういうのは色々あるんだろう。

ということで、今年も都寿司のお寿司で大晦日を迎える。いつもながら美味しくて満足。テレビがどこもつまらないので、行く年来る年の時間まで、Internet Archives で数学の本を検索。おお、Felix Klein の「リーマンによる代数関数の理論」の英訳があった。素晴らしい〜 😆