カテゴリー: 数学

2年位前のノートをめくっていて見つけたのでメモ。まあ、偶然の産物だが。

不定積分 $\int \frac{1}{\cos x}\,dx$ の計算が目標。いろいろな方法があるが、たまたま発見した変な方法をご紹介 😉

\[ \frac{1-\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x}{(1+\sin x)\cos x} = \frac{\cos x}{1+\sin x} \]
という式変形を利用すると、
\begin{align*}
\int \frac{1}{\cos x}\,dx &= \int \left( \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1+\sin x} \right) \,dx \\
&= -\log\left\vert\cos x\right\vert + \log\left\vert 1+\sin x \right\vert \\
&= \log \left\vert \frac{1+\sin x}{\cos x} \right\vert
\end{align*}

もう頭も悪くなって久しいが，腐りかけの脳細胞でも，たまには良いことを思いつくってことでメモ。

チェビシェフの多項式$T_n(x)$について，$x>1$のとき$T_n(x)>1$を示せ，というのが問題。$-1\leqq x\leqq 1$で増減しまくってるんだから，$x>1$ではもう単調増加しかないよなあ・・・と漠然と考えていると，その方向での証明を思いついた。

$T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$を$\theta$で微分すると，Chain Ruleによって，
\begin{gather*}
T_n'(\cos\theta) (-\sin\theta) = -n\sin n\theta \\
T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta}{\sin\theta}
\end{gather*}
よって，$T_n'(x)=0$ は $(n-1)$個の根 $x=\cos\frac{k\pi}{n}$ ($k=1$, $2$, $\cdots$, $n-1$) を持つが，$T_n'(x)$は$(n-1)$次式だから，これが根のすべてである。

従って，
\[ T_n'(x)=n2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \left(x-\cos\frac{k\pi}{n}\right) \]
と因数分解される。これから，$x\geqq 1$において $T_n'(x)>0$ となること，すなわち，$T_n(x)$が単調増加になることは明らかである。$T_n(1)=1$であるから，$x>1$のとき，$T_n(x)>T_n(1)=1$ である。QED

今朝，ふと思いついて計算してみたら，あまりにも簡単にできて，驚いた。

$n$を任意の正の整数とするとき，$x>0$において不等式
\[ e^x>1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \]
が成り立つことはよく知られている。$e^x$のテイラー展開から自然に導かれるのであるが，それを使わずに直接に証明しようとすると，微分を何回もすることになり(帰納法との併用)，けっこう手間がかかるのである。

ところである。両辺の対数をとった不等式
\[ x>\log\biggl(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\biggr) \]
を考えると，あら不思議。微分一回だけで簡単に証明できるのである。
\[ f_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \]
とおけば，
\[ f_n'(x)=f_{n-1}(x), \qquad f_{n}(x)=f_{n-1}(x)+\frac{x^n}{n!} \]
が成り立つから，
\[ g(x)=x-\log f_n(x) \]
を微分すると，
\[ g'(x)=1-\frac{f_n'(x)}{f_n(x)}=1-\frac{f_{n-1}(x)}{f_n(x)}=\frac{x^n}{n!\,f_n(x)} \]
となる。これから$g(x)$は$x\geqq 0$において単調増加であることが分かるから，$x>0$において$g(x)>0$であることが言える。

たまに夢で数学することがあるが，朝起きてみるとたいてい間違っている。というか，そもそも数学になっていなかったりする。しかし，今朝のは違った。簡単な話なんだけど。

$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^4 x}\,dx$ を計算するために，
\[ \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x \]
と変形する。すると，$u=\tan x$ という変数変換で，
\begin{align*}
\int \frac{1}{\cos^4 x}\,dx
&= \int \left(1+\tan^2 x \right) \frac{1}{\cos^2 x}\,dx \\
&= \int (1+u^2)\,du \\
&= u+\frac{1}{3}u^3 \\
&= \tan x+\frac{1}{3} \tan^3 x
\end{align*}
となるという話。まったく同様にして，$u=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ とおけば，
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sin^4 x}\,dx
&= \int \left(1+\cot^2 x \right) \frac{1}{\sin^2 x}\,dx \\
&= \int (1+u^2)\,(-du) \\
&= -u-\frac{1}{3}u^3 \\
&= -\cot x-\frac{1}{3} \cot^3 x
\end{align*}
となる。

こんな計算，昔やったような気もするが，最近記憶力ないので。

とある積分計算。$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx$ を求めることに。分子を$\cos^2 x=1-\sin^2 x$と変形すれば，$I_n=\int \sin^n x\,dx$ に帰着できそうである。

$I_n$が満たす漸化式
\[ nI_n=(n-1)I_{n-2}-\sin^{n-1}x\cos x \]
は$n$が負の整数でも成り立つので，これを使えば，$I_{-4}$は
\[ I_{-2}=\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\frac{\cos x}{\sin x} \]
に帰着されるから，
\begin{align*}
\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx
&= I_{-4}-I_{-2} \\
&= \frac13\left( 2I_{-2}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right)-I_{-2} \\
&= \frac13\left( -I_{-2}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right) \\
&= \frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin^3 x} \right) \\
&= -\frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^3
\end{align*}
となる。

念のため，Wolfram Alpha でチェックしてみた。なんと，$u=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ と変数変換して，
\begin{align*}
\int \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x}\,dx
&= \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{\sin^2 x}\,dx \\
&= \int u^2 \,(-du) \\
&= -\frac13 u^3 \\
&= -\frac13\left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^3
\end{align*}
と計算していた。ええ，そうです。この方がずっと簡単です。負けました。というか，もうね，積分計算とか機械の仕事だからさ 😉 。あーあ。

なかなか進まないが、ぼちぼち本棚の整理＆PDF化を実行中なのである。久しぶりに SingerとThorpe共著の Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry に遭遇。

大学3年の輪講で使っていたテキスト。初めて買った洋書の数学の本だったかもしれない。

予備知識があまりなくても読めるし、よく出来た本だとは思うが、個人的には位相のあたりがまどろっこしかった。もっとも、それは手っ取り早く de Rham の定理に辿り着きたいという気持ちがあったからだったかもしれない。この本の立場は、そうではなくて、無味乾燥になりがちな位相空間入門を具体的目標(de Rhamとかリーマン幾何とか)を掲げて魅力的に展開しよう、ということなのだろう。

日本語訳も出ていて、欲しいなあと思いながら、同じ本が2つあってもなあと、結局買わずじまい。